Math 如何在知道半径和圆心的情况下计算圆上的点

我有一个复杂的问题，它涉及到对数学的理解，我对此没有信心

一些细微的上下文可能会有所帮助。我正在为孩子们构建一个3D火车模拟器，它将使用WebGL在浏览器中运行。我正试图创建一个点网络来放置轨道资源（见图），并为列车的行驶提供参考

为了帮助解释我的问题，我创建了一个可视化表示，因为我是一个能够编写脚本的设计师，而不是真正的程序员或数学家：

基本上，我有3个形状（图A、B和C），虽然它们有宽度，但可以表示为A和曲线（B和C）的直线。曲线B&C由A导出（弯曲修改），因此所有曲线都具有相同的长度（l），即112。曲线（B&C）的半径（r）为285.5，弯曲角度（a）为22.5°

每个形状（A、B和C）都有一个注册点（起点），该点由连接到每个形状的绿色框的中心表示

我试图做的是创建一个从0，0开始的“轨迹”网络（使用标准笛卡尔坐标）

我的问题是在曲线后放置下一个元素的位置。如果它是直线轨迹，那么就没有问题了，因为我可以使用长度作为沿y轴的恒定偏移，但这会很无聊，所以我需要添加曲线

图D展示了一个可能的轨道布局示例，但请理解，我不是在寻找静态答案（基于图像中所有内容的位置），我需要一个无论我如何配置轨道都可以应用的公式

使用图D，我试图找出在第一个弯曲元素之后放置第二个弯曲元素的位置。我使用公式来绘制给定圆心坐标和半径的圆的圆周点（图E）

我有点1，因为这只是设置直线长度（y位置）的一个例子。我可以很容易地计算出圆的中心，因为这就是偏移量y位置，半径偏移量（r）（x位置）和角度（a），它总是22.5°（顺便说一下，根据公式要求，它被转换成弧度）

通过公式传递值后，我没有得到正确的结果，因为公式假设我从3点钟开始逆时针工作，所以我必须从（a）中减去180，并将其转换为弧度以获得预期结果

这确实有效，如果我想创建一个180°的轨迹曲线，我可以使用相同的中心点，每次只需从角度中减去22.5°。伟大的但我想要一个更动态的轨道布局，如图所示。D&E

那么，我该如何处理图E中的工作点5，因为它代表了曲线段的中心点？我完全不知道

另外，作为一个额外的问题，这是做这件事的正确方式还是我把事情复杂化了

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这个问题是阻止我建立我的游戏的唯一问题，正如你所理解的，这是一个很大的问题，因此我提前感谢所有人的贡献。

第5点与3点和2点的距离相等，但方向相反。

当你建立赛道时，要放置的下一条轨道的位置需要相对于轨道当前端的位置和方向

我将存储（

x

，

y

）位置和角度

a

，以指示当前点（以

x

，

y

从0开始，

a

从pi/2弧度开始，对应于“从3点钟开始逆时针”系统中的直线上升）

然后构造

fx = cos(a);
fy = sin(a);
lx = -sin(a);
ly = cos(a);

对应于相对于我们当前面对的方向的“向前”和“向左”向量的x和y分量。如果我们想将头寸向前移动一个单位，我们会将（x，y）增加（fx，fy）

在您的情况下，放置轨道直线段的规则是：

x=x+112*fx
y=y+112*fy

放置曲线的规则稍微复杂一些。对于右转的曲线，我们需要向前移动112*sin（22.5°），然后向右移动112*（1-cos（22.5°），然后顺时针旋转22.5°。在代码中

x=x+285.206*sin(22.5*pi/180)*fx // Move forward
y=y+285.206*sin(22.5*pi/180)*fy

x=x+285.206*(1-cos(22.5*pi/180))*(-lx) // Side-step right
y=y+285.206*(1-cos(22.5*pi/180))*(-ly)

a=a-22.5*pi/180 // Turn to face new direction

左转就像右转一样，但角度为负

要放置后续工件，只需再次运行此过程，使用现在更新的

a

值计算

fx

、

fy

、

lx

和

ly

，然后根据下一个轨道工件的类型递增

x

---

<> P.>还有一点你可以考虑，在我的经验中，如果你坚持做90°转弯或相当对称的布局，那么建立与这些片段形成闭合回路的轨道通常是有效的。然而，很容易制作出不完全连接的轨道，而且不清楚如何修改这些轨道以允许m加入。如果你的程序允许孩子们设计自己的布局，也许需要记住一些事情。

在我发布的静态示例中（轨迹配置A B C）然后是的，但我的轨迹布局会有所不同。虽然这给了我一个想法。我会回来找你。在我看来，你把事情复杂化了。你可能想看看样条曲线。这是一种数学技术，你可以将一条长路径分割成几个较小的函数。所以在这个例子中，你不会处理圆。你会从原点取直线，然后沿着函数定义的曲线行进（不是圆的这一部分，这将是一个令人头痛的问题）。每一段从上一段结束的地方开始，并且每一段的曲率都应该是独立的。希望这能有所帮助。谢谢你的回答和详细的解释。我确实认为可能有一种更简单的方法，最终会达到目的，因为我已经使用三角函数简化了其中的一些部分