Math 随机生成的密码中出现3个字符字符串的概率

如果您有一个随机生成的密码，仅由字母数字字符组成，长度为12，并且比较不区分大小写（即“a”==“a”），那么该密码中出现一个长度为3的特定字符串（例如“ABC”）的概率是多少

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我知道可能的组合总数是（26+10）^12，但除此之外，我有点迷茫。对数学的解释也会很有帮助。

来扩展Paul R的答案。概率（对于同样可能的结果）是事件的可能结果数除以可能结果总数

在长度为12的字符串中可以找到长度为3的字符串的10个可能位置。还有9个点可以用任何其他字母数字字符填充，这就有了

36^9

的可能性。因此，您活动的可能结果数量为

10*36^9

将其除以结果总数

36^12

。你的答案是

10*36^-3=0.000214

编辑：这并不完全正确。在这个解决方案中，有些情况是重复计算的。然而，它们对概率的贡献很小，所以这个答案在小数点后11位仍然是正确的。如果您想要完整答案，请参阅尼莫的答案。

字符串“abc”可以出现在第一个位置，使字符串如下所示：

abcXXXXXXXXX

…其中X可以是任何字母或数字。有（26+10）^9个这样的字符串

它可以出现在第二个位置，使字符串看起来像：

XabcXXXXXXXX

还有（26+10）^9个这样的字符串

由于“abc”可以出现在从第一个位置到第十个位置的任何位置，因此有10*36^9个这样的字符串

但这会导致计数过多，因为它会对这样的字符串计数（例如）两次：

abcXXXabcXXX

所以我们需要像这样计算所有的字符串，然后从总数中减去它们

由于此模式中有6个X，因此有36^6个字符串与此模式匹配

我得到7+6+5+4+3+2+1=28个这样的模式。（如果第一个“abc”位于开头，则第二个可以位于7个位置中的任何一个。如果第一个“abc”位于第二个位置，则第二个可以位于6个位置中的任何一个。依此类推。）

所以减去28*36^6

…但这会减去太多，因为它会减去三次字符串，而不是一次：

abcXabcXabcX

所以我们必须像这样加回字符串，两次。我得到了这些模式中的4+3+2+1+3+2+1+2+1+1=20，这意味着我们必须再加上2*20*（36^3）

但是数学计算了这个字符串四次：

abcabcabcabc

…所以我们必须减去3

最后答覆：

10*36^9 - 28*36^6 + 2*20*(36^3) - 3

除以36^12得到你的概率

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另见。如果

A

不等于

C

，则

ABC

在一个长度

n

的字符串中发生的概率

p（n）

（假设每个字母数字符号的可能性相同）为

在哪里

P(0)=P(1)=P(2)=0 and P(3)=1/(36)^3

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这是不对的。请看我对@Paul的回答的评论。@Nemo：谢谢你指出错误。我会再仔细考虑一下。对不起，我想我做出了一个无效的推论：-）注意@Nemo更迂腐的答案给出了一个匹配小数点后8位的数字结果。这个问题也属于

http://math.stackexchange.com/

@Jason:谢谢。对不起，如果我的评论有点激烈。现在我只想知道是谁否决了我：-）。此外，我认为你应该像tskuzzy那样删除你的答案，并在最后加上免责声明。我认为你的方法比其他方法更准确，而且肯定比完整的分析更简单。那应该是

28*36^6

。@Nemo:没关系。SIWOTI综合征。请注意，这给出的答案在数值上与我之前的解决方案（0.0002143）给出的答案几乎相同，我现在由于令人讨厌的否决投票而被迫删除了该解决方案：@Paul：近似值没有错，只要你知道你在做近似值。如果你的回答显示出这种意识，我就不会投反对票了。如前所述，这是错误的，所以我按下向下按钮并解释了原因。如果你认为这是不合适的，我愿意倾听，在这里或在聊天。

P(0)=P(1)=P(2)=0 and P(3)=1/(36)^3