Math 余弦相似空间中的数

我想表示向量空间中某个范围内的实数，这样在向量空间中越接近的数也越接近，接近度可以用余弦距离来测量

例如，在0-100之间，9和10的余弦相似性应接近于1，9和100的余弦相似性应接近于-1

---

如何实现这样的映射？我想尝试一个神经网络编码器，但有没有其他方法来实现这一点

在二维向量空间的特殊情况下，这很容易做到。我将对范围

[0100]

进行说明，尽管很容易推广到其他区间

将单位圆视为以原点为中心的模拟时钟。将

[0100]

中的点

x

映射到秒针

0.3x

秒到一分钟的位置。对于

x=0

，秒针指向12，相应的向量为

。对于

x=50

，秒针将指向3，

x

将映射到

。对于

x=100

，秒针指向6，

x

将映射到

映射的公式为：

f(x) = <sin(1.8*x),cos(1.8*x)>  #measured in degrees

比如说,

>>> u = to_vector(9,0,100)
>>> u
(0.2789911060392293, 0.9602936856769431)
>>> v = to_vector(10,0,100)
>>> v
(0.3090169943749474, 0.9510565162951535)
>>> w = to_vector(100,0,100)
>>> w
(1.2246467991473532e-16, -1.0)
>>> similarity(v,u)
0.9995065603657316
>>> similarity(v,w)
-0.9510565162951536

编辑：这里有一种更抽象的方法，可用于构建任何维度的示例

从任何连续的一对一映射开始

g:[a，b]\rightarrow R^n

（其中

R^n

是n维欧几里德空间）。因为是一对一，

g（a）！=g（b）

。设

m

为连接

g（a）

和

g（b）

的线段的中点。因此

m=（g（a）+g（b））/2

。定义另一个函数，如下所示：

f(x) = g(x) - m

不难看出：

如果

x

和

y

接近，则

f（x）

和

f（y）

之间的余弦相似性接近

1

如果

x

接近

a

并且

y

接近

b

，那么

f（x）

和

f（y）

之间的余弦相似性接近

-1

---

通过适当选择

g

，您可以构造一些有趣的示例，例如

g

可能是

R^3

中螺旋线完全扭曲的参数化，这是一件奇怪的事情。余弦相似性的目的是比较向量，就像我们比较实数一样——你想走另一条路。比较实数很容易——为什么要让它更复杂？这里的背景是什么？除此之外，向量空间（通常）比其他集合有更多的成员，这对多维空间来说是不可能的。

f(x) = g(x) - m