Math 大0的小增长函数能被认为更大吗？

如果

f（n）=o（g（n）

和

g（n）=o（h（n））

那么像f（n）=45n+3这样的较小的增长函数是否可以被认为是o（2^n）和o（n）

证明：

o

有不同的定义，但有一个涉及到限制：

f（n）=o（g（n））

可以定义为

lim f（n）/g（n）->0

为

n->+inf

。假设

f（n）=o（g（n））

和

g（n）=o（h（n））

。然后

lim f（n）/g（n）->0和
lim g（n）/h（n）->0
。我们可以通过将顶部和底部乘以
g（n）
来找到
limf（n）/h（n）
。我们可以将其重新排列，得到
limf（n）/g（n）/h（n）
。当极限存在时，产品的极限是极限的乘积，我们两人都是：
limf（n）/g（n）/h（n）
=0 x 0=0

。因此，根据需要，我们有

limf（n）/h（n）=0

，或

f（n）=o（h（n））

如前所述，并非如您的示例中所示的

45n+3=o（n）

。事实上，

lim（45n+3）/n=45

，而不是所需的

0

我更喜欢

o

的另一个定义：

f（n）=o（g（n））

iff

对于所有c>0存在n0，因此对于n>n0，f（n）

。这更好地显示了与

o的关系。传递性的证明如下：

证明。假设
f（n）=o（g（n））
和
g（n）=o（h（n））
。然后对于所有
c>0
存在
n0
，使得
f（n）
对于所有
n>n0和所有
c>0
存在
n0'
，从而
g（n）
对于所有
n>n0'
。让
n0'=max（n0，n0'）
和
c'=cc'
。然后
f（n）
对于所有
n'
；因此，
f（n）=o（h（n））
，根据需要。
One bit of pedantry…
o（g（n））
和
o（g（n））
是具有特定属性的函数集。因此说
f（n）更正确∈o（g（n））
等。