Math 代数结构与程序设计

有谁能给我举个例子，说明我们如何使用代数结构（如群、幺半群和环）来提高代码的可重用性？（或者我怎么能在编程中使用这些结构，至少我知道我在高中时并没有白学这些理论）

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我听说这是可能的，但我想不出一种方法将它们应用到编程中，并将核心数学应用到编程中。

由于我不知道计算机科学世界中存在这种东西，请忽略这个答案；）

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我不认为这两个领域（没有双关语）有任何重叠。环/场/组处理数学对象。考虑字段定义的一部分：

对于F中的每个a，都存在一个元素−F中的a，使得a+(−a） =0。类似地，对于F中除0以外的任何a，都存在一个元素a^−F中的1，使得a·a^−1 = 1. （元素a+(−b） a·b^−1也表示为a− 换句话说，减法和除法运算是存在的

这对编程来说意味着什么？我当然不能在Python中使用

列表

对象的加法求逆（我可以直接销毁该对象，但这就像乘法求逆一样。我想你可以尝试定义Python环，但最终不会成功）。甚至不要考虑划分

列表

至于代码可读性，我完全不知道如何应用它，所以这个应用程序是不相关的

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这是我的解释，但作为一名数学专业的学生，可能会让我对不同领域的其他术语视而不见（你知道我在说哪一个）。

在函数式编程中，尤其是在Haskell中，构造将状态转换为单子的程序是很常见的。这样做意味着您可以在非常不同的程序中重用monad上的通用算法

C++标准模板库的概念是：其思想是泛型算法可能需要一个操作来满足幺半群公理的正确性

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例如，如果我们可以证明我们正在操作的类型T（数字、字符串等）在该操作下是闭合的，我们就知道不必检查某些错误；我们总是能得到一个有效的T。如果我们可以证明该操作是关联的

（x*（y*z）=（x*y）*z）

，那么我们可以重用fork-join架构；这是一种在各种库中实现的简单但并行编程方法。

计算机科学现在似乎有很多相似之处。你可以得到单子、幺半群、函子——一整套数学实体，它们被用来提高代码的可重用性，利用抽象数学的抽象。

列表是带有一个生成器的自由幺半群，二叉树是组。你有有限变量或无限变量

起点：

您可能想学习范畴理论，以及范畴理论接近代数结构的方式：它正是函数式编程语言接近数据结构的方式，至少是形状

示例：类型树A为

Tree A = () | Tree A | Tree A * Tree A

这意味着同构（*）的存在（我设置了

G=treea

）

这与组结构相同

phi : 1 + G + G x G -> G
() € 1         -> e
x € G          -> x^(-1)
(x, y) € G x G -> x * y

实际上，二叉树可以表示表达式，它们形成了一个代数结构。G的一个元素读作恒等式、元素的逆式或两个元素的乘积。二叉树可以是一片叶子、一棵树或一对树。注意形状上的相似性

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（*）以及一个通用属性，但它们是其中的两个（有限树或无限懒树），因此我不会详细讨论。

与数学思维相比，数学知识并没有真正起到帮助作用。抽象是编程的关键。将真实的概念转化为数字和关系是我们每天都在做的事情。代数是一切之母，代数是定义正确性的一套规则，它是最高层次的抽象，因此，理解代数意味着你可以思考得更清楚、更快、更有效。从集合论到范畴论、领域论等，一切都来自于实际挑战、抽象和泛化需求。

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在通常的实践中，你不需要真正了解这些，尽管如果你想开发像AI代理、编程语言、基本概念和工具这样的东西，那么它们是必须的。

幺半群在编程中无处不在。在一些编程语言中，例如Haskell，我们可以使幺半群显式化

那么那些孤独的同构呢？还有谁会想到（然后“等等，我该向谁建议呢？我几乎不懂编程概念，更不用说它背后的数学知识了——我甚至不知道它是否被正确地称为‘单子’）“怎么回事……编程？”：代数结构定义是具有特定类型的函数。对于幺半群，它是来自

（）|G*G->G

的函数，即返回单位元素或乘法的函数。这非常类似于以二叉树形式计算表达式的函数，不是吗？实际上，二叉树和幺半群是相似的概念。这就是为什么我们在函数式编程中有代数数据类型这个术语。嘿，这表明我的书包里没有多少计算机科学。我必须更多地研究二叉树和那些幺半群的东西。谢谢你的信息！除了，树不是关联的，是吗？（不幸的是，我并不真正了解范畴理论，所以我不知道它是如何看待这些事情的…@comingstorm:说得好。对于组，有一个交换图，描述了

phi

应用程序在关联性方面的行为。如果您想将其转换为树，您将编写一个谓词，告诉您两棵树何时相等。树代表前

phi : 1 + G + G x G -> G
() € 1         -> e
x € G          -> x^(-1)
(x, y) € G x G -> x * y