Algorithm 替代系统

我目前正在开发一个具有一些功能的高级文本编辑器

其中一个特点是替代系统。它将帮助用户快速替换字符串。
其格式如下：

((a x) | x) (d e)

我们可以将字符串分为两部分：左

（（ax）| x）

和右

（de）

。如果在

|

之后有一个字母（

x

，在当前情况下），那么我们可以执行一个替换操作-将左侧的所有

x

替换为右侧的字符串。
因此，在操作之后，我们将收到

（a（de））

当然，这些括号内的表达式可能是嵌套的：

（（a | a）（dx | d））（ef | f）

->

（（ef | f）x）

->

（ex）

不幸的是，这种减少可能会无限期地继续下去：

（aaa）（aaa）

我需要显示一个警告，如果用户要编写一个字符串，则无法将其缩减为没有缩减的表单。

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有什么建议吗？

祝贺你，你刚刚发明了（发音为“Lambda演算”）

为什么这个问题很难解决 让我们使用原始的符号，因为它已经在20世纪30年代由Church发明：

（（λx.f）u）

是对

f

的重写，其中所有

x

已被

u

替换。 请注意，这相当于表示法

（f | x）u

，其中

f

是可以包含

x

的字符串。它是一种数学工具，用来理解什么函数是“可计算的”，也就是说，可以给计算机一个适当的程序，这样对于所有的输入，计算机将运行其程序并输出正确的答案。扰流板：可计算函数正是可以写成λ-项的函数（即在设置中重写）

有时λ-项可以简化，正如您自己所指出的。比如说

（λx.yx）（λu.uu）（λz.z）i）

->

（λx.yx）（λz.z）i）

->

（λx.yx）（λz.z）i

->

（λx.yx）i
->
yi

有时，简化的顺序（也称为“评估”或“贝塔缩减”）是无限的。一个非常著名的是欧米茄算符
（λx.xx）（λx.xx）
（敲钟？）

理想情况下，我们希望限制λ-演算，以便所有术语在有限的步骤中“可简化”为最终可用形式。此属性称为“规范化”。然而，我们真正想要的是更进一步的一步：我们希望所有的简化序列都以最终形式结束在有限数量的步骤中，这样当面临多项选择时，您可以选择其中一项，而不会因为错误的选择而陷入无限循环。这被称为“强规范化”

问题是：λ演算不是强规范化的。这个属性根本不是真的。有些术语最终不会以“正常”形式结束。
你自己也找到了

这个问题在理论上是如何解决的
获得强归一化性质的关键是排除不满足这个性质的矩形项（打印警告并在您的情况下吐出错误），因此我们只考虑强正规化的α-项。这个“排除”是通过一个键入系统实现的：具有有效类型的λ-项是强规范化的，而不具有强规范化的λ-项不能具有有效类型。太棒了，现在我们知道哪些人应该出错了！让我们用简单的例子来验证一下
从你能够非常清楚地表达你的问题的方式来看，我假设你已经有编程和静态类型系统的经验，但是如果你想有一个完整的解释，我可以修改这个答案。我将对类型使用类似Caml的表示法，因此
s
是一个字符串，
s->s
是一个与字符串相关联的函数，
s->（s->s）
是一个与字符串相关联的函数，等等。当变量
x
具有类型
t
时，我表示
x:t

λx.ax:s->s
提供
a:s->s

（λx.yx）（（λu.uu）（λz.z）i）：s
提供了
y:s->s，i:s
，正如我们从上述减少中看到的那样

λx.x:s->s
。但是要注意，
λx.x:（s->s）->（s->s）
也是正确的。确定类型很难

如何通过编程解决此问题
您的问题稍微容易一些，因为您只处理字符串替换，所以您知道所有内容的基本类型都是字符串，您可以尝试“向上键入”，直到您能够键入整个重写（即没有错误），或者能够证明重写不可键入（请参阅Omega）并抛出错误。但要注意：不能键入重写并不意味着不能键入重写

在您的示例
（λx.ax）（de）
中，您知道
a
、
d
和
e
的实际值，因此您可能有例如
a:s->s
，
d:s->s
，
e:s
，因此，
de:s
和
λx.ax:s->s
所以整个东西都有类型
s
，你可以走了。您可能会编写一个编译器，尝试键入重写，并根据一组精心编制的决策规则确定它是否可键入，以满足您的特定用途。您甚至可以决定，如果编译器未能键入重写，那么它将被拒绝（即使它是有效的），因为在一个合理的编辑器文本替换场景中，情况非常复杂，即使正确也会失败

你想用程序解决这个问题吗？
不，我是认真的。你真的不想

记住，λ-项描述所有可计算函数。
如果您真的要实现一个完全正确的警告生成器