Algorithm 具有两个输入的递归函数的运行时间

我一直在解决一些面试问题，进行练习，但我仍在努力确定一些递归函数的运行时间。 我要解决的问题是：

想象一个机器人坐在X×Y网格的左上角。 机器人只能向两个方向移动：向右和向下。有多少 机器人从（0，0）到（X，Y）有可能的路径吗

我的解决方案（Java）：

最后一级有10个元素（返回值1），这是从（0，0）到达（3，2）的可能路径数。 根据我的直觉，我认为运行时间会随着X和Y的增加而增加：

O（2^X*2^Y）=O（2^（X+Y））

此外，我还添加了一个计数器，它随着每次递归调用而递增，以查看函数被调用的次数。对于上面的示例，函数被调用49次。 函数成功地将两个

if

语句传递24次，并尝试再进行两次递归调用

这使我进一步怀疑我的直觉

有人能帮我分析这个（和类似的）递归函数来确定时间复杂度吗？

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我不想你们费心向我解释如何解决这个问题，但也许是一些一般性的指示或建议？谢谢。

当每个summand都是

0

或

1

时，求和

S

需要多少个summand？很明显，至少是

S

。因此，函数至少进行

answer

调用，其中

answer

是问题的答案。如果只返回1，否则处理0，那么这就是准确的计数

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记录在案，这个问题的一个好的解决方案有很多关系（这一点可能会有所帮助）。

有一个更简单的解决方案：从（0，0）到（x，y）总共需要x+y步。在这些步骤中，你必须选择x个水平步骤的位置，你可以用二项式（x+y，x）方法来做。

很棘手，每个问题都不同。从一个电子表格开始，该表格计算呼叫次数，以了解问题

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如果从X=Y>0开始，进行X+Y级别的递归调用，那么有2种方法可以选择两种递归调用中的哪一种。这些方法中的许多都不会深入到X+Y水平，因为X或Y都会变成负值。但是，如果您按照每个调用路径执行相同的次数，那么您将进入X+Y级别。有（2X/X）方法可以做到这一点，大约是2^（X+Y）/sqrt（pix）

我怀疑你所采取的方法是否符合预期。从左上角到右下角的路径总是由

X+Y

down（D）或left（L）步组成，其中

X

乘以left和

Y

乘以down。例如，对于

X=3

和

Y=2

，这是一个可能的路径：

LLDLD

。问题是：存在多少不同的序列？换句话说，您可以通过多少种方式从

X+Y

位置中选择

X

次

L

？组合数学告诉我们这是

X+Y选择X

，或者

（X+Y）/（X！Y！）

。是的，你是对的。我的解决方案就是从（X，Y）向后移动到（0，0），向左和向上移动，这与从（0，0）开始和向右和向下移动到（X，Y）相反。对于X=3和Y=2，我的解给出10。（X+Y）！/（X！Y！）会给出（5）！/（3！2！）=10在我看来就像是递归。这些增长非常快。我感谢你们提供替代解决方案。这绝对有助于我从不同的角度看待这个问题。但是，我希望找到我创建的解决方案的运行时间，特别是如果它是最优的，谢谢。这就是我想要的。你能解释一下pi*X的根从哪里来吗？这是斯特林近似的应用吗？还有，Y是如何成为2X除以X的一个术语的？是的，任何进一步的解释都是非常感谢的：）啊，找到了，你还在谈论如果X=Y；那么你给出的事实上是应用斯特林近似的结果，可以找到。

public int totalPossiblePaths(int X, int Y) {
    if(X < 0 || Y < 0) {
        return 0;
    }
    if(X == 0 && Y ==0) {
        return 1;
    }
    return totalPossiblePaths(X - 1, Y) +
           totalPossiblePaths(X, Y - 1);
}

    F(3, 2) = F(2, 2) + F(3, 1)
            = F(1, 2) + F(2, 1) + F(2, 1) + F(3, 0)
            = F(0, 2) + F(1, 1) + F(1, 1) + F(2, 0) + F(1, 1) + F(2, 0) + F(2, 0)
            = F(0, 1) + F(0, 1) + F(1, 0) + F(0, 1) + F(1, 0) + F(1, 0) + F(0, 1) + F(1, 0) + F(1, 0) + F(1, 0)
            = F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0) + F(0, 0)