Algorithm 利用递推关系分析时间复杂度

这里没有复杂性分析

我试图用下面给定的递归关系来计算递归算法的时间复杂度-

T(n) = n + 4T(n/2)

我知道有三种方法可以解决这个问题，但我试图通过将树的每一级所完成的工作量相加来解决这个问题

当我画递归树时，我得到如下结构

                        n                          | n work
                     /     \
              4T(n/2)        4T(n/2)               | 2n work
             /     \         /        \
         4T(n/2)   4T(n/2)   4T(n/2)  4T(n/2)      | 4n work

          .          .          .       .
          .          .          .       .
     Theta(1) Theta(1) Theta(1).......Theta(1)     | ???

我一直在计算总和（n+2n+4n+8n…） 因为

• 我想不出最后一学期是什么
• 即使我这样做了，我意识到这是一个比率r>1的几何级数，所以我不能真正计算和

有人能帮我理解怎么做吗

编辑

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注意：我从这里发现了问题——有一个解决方案，但我没有完全理解它，我的表达式似乎至少是正确的，但我无法理解最后一个术语是如何得到的

从根到叶，树的每一层都有

n

两层，因此树有

log2（n）

层

那么总数将是：

n + 2n + ... + 2 ^ (log2(n)) * n
= n * (1 + 2 + ... + 2 ^ log2(n))
= n * (2 ^ (log2(n) + 1) - 1)
= n * (2 * n - 1)
= 2 * n ^ 2 - n
= O(n ^ 2)

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上述所有分析均假设n为2的幂，但在大多数情况下，该假设并不重要。

元素a、ar、ar^2、…、ar^n-1的几何级数求和公式如下所示：

S(n) = a((r^n)-1)/(r-1)  // in case of r>1

深度为i的节点的子问题大小为n/（2^i）。因此，当

n/（2^i）=1

时，子问题达到大小1，或者当i=log2n时，子问题达到大小1

每个级别的节点数是上面级别的4倍，因此深度i处的节点数为4^i

因为子问题的大小从根开始的每一级都减少了2倍，所以深度i处的每个节点，对于i=0,1,2，…，log2n-1，成本为c*n/（2^i）。乘以，我们看到深度i处所有节点的总成本，对于i=0,1，…，log2n-1是

4^i*c*n/（2^i）

=

（2^i）*c*n

深度log2n处的最后一级有4^（log2n）=n^（log24）=（n^2）个元素，每个元素的贡献成本为T（1），即θ（n^2）

把所有层面的成本加起来

T（n）=cn+2cn+4cn+…+cn*（2^log2n-1）+θ（n^2）

=cn*[（2^log2n）-1]/（2-1）+θ（n^2）
=cn*[（n^log22）-1]+θ（n^2）
=cn*（n-1）+θ（n^2）
=cn^2-cn+θ（n^2）
=θ（n^2）。//或O（n^2）表示上界。

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因此，递归树的复杂性为θ（n^2）。你可以很好地证明它的复杂性是O（n^2）。

你也可以很好地对此有一个更严格的界，比如θ（n^2）。请检查我的答案，它总是以O（n^2）作为上限。@shekharsuman这已经是θ（n^2），但我没有注意到它。但当然，你做了一些更仔细的分析，这适用于所有情况：-）@ZiyaoWei-这就是为什么我在你的评论部分提到了这一点，以便你可以在你的答案中进行编辑，如果你愿意的话。然后我会向上投票。您好，我正在浏览这些概念，稍后我会回到这个答案，看看哪一个对我更有意义。我明白这两个答案都在谈论什么，但我还没有弄清楚细节的确切含义。。。我一定会投票接受。请放心：）1。每个问题生成4个子问题，但在递归树中，每个问题只绘制2个子问题（每个节点2个子问题）。2.一个节点应该是“未展开的”（形式为“T（…）”），在这种情况下，它没有子节点（对应于方程的LHS），或者是“展开的”（形式为“c*…”），其中它应该有4个子节点（对应于RHS）。3.此外，第三行中出现的每个“n/2”都应替换为“n/4”。很好，除了“每个级别的节点数是上面级别的2倍，因此深度i的节点数是2^i”应该是“每个级别的节点数是上面级别的4倍，因此深度i的节点数是4^i”。@j_random_hacker-谢谢，我改正了。在写答案时，这是一个打字错误。：）

 = cn*[(2^log<sub>2</sub>n)-1]/(2-1) + θ(n^2)

 = cn*[(n^log<sub>2</sub>2)-1] + θ(n^2)

 = cn*(n-1)+ θ(n^2)

 = cn^2 - cn + θ(n^2)

 = θ(n^2).    // OR    O(n^2) for an upper bound.