Algorithm 是O（（对数n）！）多项式吗？

我想找到

O（（日志n）！）

。我认为

O（（logn）！）

和

O（n！）

是相等的！因为我认为当n是无限的

（logn）和
n是相等的。这是真的吗？如果是，我如何证明？如果不是的话，
O（（logn）！）
多项式？
让我们回到一些基本数学：

我们知道如果log a>log b，那么a>b：（log base大于1）


现在我们知道log（N！）=NLogN（）

保持相同的参数，我们得到，log（（logN）！）=logN logN
自，

log（N！）为多项式次，log（（logn）！）为对数阶，

清晰地
O（N！）>O（（logN）！）

希望这能有所帮助。
使用$n！~\sqrt{2\pin}\frac{n}{e}^n（1+O（frac{1}{n}））$，使用$\log{n}$的相同公式，可以检查$n！$前导因子是$n^n$，而$\log{n}！$的前导因子是$n^n$相同的因子变成$\log{n}^\log{n}$。通过使用$\ln{n}\leq n-1$这一事实，我相信您可以很容易地证明$O（\log{n}！）$小于$O（n！）$。
我想接下来的问题是
（logn）是多项式有界的。它显然不是多项式本身斯特林近似给出了

n！≤英文^[n+1/2]*e^(−n） 

所以

（日志n）！≤e（对数n）^[1/2+对数n]*e^(−日志n）

现在
（logn）^logn=（e^logn）^logn=e^[（logn）⋅（logn）]

因此，增长顺序大约是
e^[（logn）（loglogn）−logn]=n^[（logn）−1] 

不幸的是，这不受任何多项式的限制，因为
loglogn
最终将超过任何正整数

例如，比较
（log n）带有
n^2

在
n=e^10时，（对数n）=3480，而
（e^10）2≈4.85×108

在
n=e^100时，（对数n）！≈10157
，而
e^200≈1086
既然已经完成了正确的数学运算，那么让我添加一个更直观的解释，说明为什么对于任何给定的
c
，O（log（n）！）>O（n^c）
。我们假设对数以2为底，为简单起见，选择
c
作为10。（该论点同样适用于不同数量的通用值）

那么，为什么
log（n）比
n^10
更大吗？让我们看看两个函数的值在2的功率，更具体地说，它们比2的最后一个功率增长了多少。（
n=2^p
从现在开始）

log（2^p）！=p*log（2^（p-1）），
（2^p）^10=2^10*（2^（p-1））^10
。这可能看起来很复杂，但它告诉我们，
log（n）
函数将在
2
的每个
p
次方将其值乘以
p
，但
n^10
将仅将其值乘以
1024
，因此
日志（n）最终将变得越来越大

另外，
log（n）
的增长速度比任何指数都慢，通过观察
n
增长1时两个函数的值相乘的程度，可以得出类似的结论。
“当n为无穷大（logn）！且n！相等时”-首先，你可以这样说任何递增函数。n、 n^2，n^3，nlog（n），任何东西。第二，我们不能将无穷大插入n！或（对数n）！，这不是big-O符号所描述的。