Algorithm Floyd-Warshall算法的最小重量循环

“设G是一个无负圈的有向加权图。设计一个算法，在G中找到一个时间复杂度为O（| V | ^3）的最小加权圈。”

以上是我一直在做的一个问题，作为我课程的一部分。当我第一次读到它时，我立即想到Floyd Warshall算法可以解决这个问题——主要是因为F-W在O（| V | ^3）时间内运行，并且它适用于无负循环的正加权图和负加权图。然而，我很快就想起了F-W是用来寻找一个图的最短路径的，而不是一个最小权循环

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我在这个问题上走对了吗？有没有可能修改Floyd-Warshall算法以在图中找到最小权重循环？

我想你已经非常接近了。一旦在O（| V | ^3）中进行FW循环，就得到了每对顶点之间最短路径的权重，我们称之为D（i，j）。现在我们主要问题的解决方案如下：对循环中的顶点施加蛮力，比如说X。对Y施加蛮力，Y是循环中的最后一个顶点，在X之前。这个循环的重量显然是D（X，Y）+W（Y，X）。然后你只需要选择一个最小的值。这显然是一个正确的答案，因为： （1） D（X，Y）+D（Y，X）的所有这些值代表某些（可能非简单）循环的权重； （2）如果最优循环是一些A-＞-> B-> A，则当x= a，y= b；p>

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要重建答案，首先需要跟踪哪个X，Y给了我们最佳结果。一旦我们有了这个X和Y，剩下的唯一一件事就是找到从X到Y的最短路径，这可以通过各种方式来完成

是的，你在正确的轨道上。包含顶点v的最小权重循环由最小权重uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu开始，然后是[n]uuuuuuuuuuuuuuuu。填空：）我不知道上面的空白应该是什么，但循环是从顶点到自身的（非平凡）路径。你只需调整FW的初始设置即可得到你想要的。@G.Bach我想hacker的意思是，如果你先解出所有对的最短路径，你可以在O（n^3）中构造最小循环。如果我们想找到一个没有重复的简单循环，那就困难多了nodes@NiklasB. 我认为将每个顶点一分为二，用一条零权重边连接它们，然后按照此操作通常的方式调整所有边就足够了。然后我们运行Floyd Warshall，寻找从v_o到v_i的最短路径，其中v覆盖所有顶点。因为我不记得Floyd Warshall是否会给你非简单的路径，一旦我们有了一条路径，我们就可以很容易地在线性时间内去掉其中的所有（零权重）循环。@G.Bach：这对像这样的有向图有效，只要你在每种情况下都从v_I到v_o添加边。（但请尽量不要对家庭作业问题给出完整答案…）