Arrays 当数组中只有两个键值时，插入和选择排序的时间复杂性

我最近在复习sedgewick的《算法》，第四版，遇到了这样一个问题，无法解决

问题是这样的：

2.1.28等键。制定并验证关于插入运行时间的假设 对只包含两个键值的数组进行排序和选择排序，假设 这些值同样可能出现

说明：您有n个元素，每个元素可以是0或1而不丧失通用性，对于每个元素x:Px=0=Px=1

欢迎任何帮助

选择排序：

时间复杂度将保持不变，因为没有2键假设，它与数组的值无关，仅与元素的数量无关。 在这种情况下，选择排序的时间复杂度为^2

然而，这仅适用于原始算法，该算法在每次外部循环迭代中扫描整个数组尾部。如果您在迭代i中优化它以找到下一个0，因为您已经清除了第一个i-1零，所以第i个零的平均位置在索引2i处。这意味着每次，内部循环都需要进行2i-i-1=i+1次迭代。 总结起来将是：

1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

不幸的是，它仍然在^2上

另一个优化可能是记住上次停止的位置。这将显著提高On的复杂性，因为您不需要多次遍历同一元素，但这将是一种不同的算法，而不是选择排序

插入排序：

在这里，事情更复杂。请注意，在取自的内部循环中，操作数取决于以下值：

while j > 0 and A[j-1] > x

但是，回想一下，在插入排序中，在第i步之后，第一个i元素被排序。因为我们假设Px=0=Px=1，所以i/2元素的平均值为0，i/2为1。 这意味着，内环的平均时间复杂度为Oi/2

总结一下，你会发现：

1/2 + 2/2 + 3/2 + ... + n/2 = 1/2* (1+2+...+n) = 1/2*n(n+1)/2 = n(n+1)/4

但是，上述内容仍在^2中

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以上不是一个正式的证明，因为它隐式地使用了EfEx=Efx，这是不正确的，但它可以为您提供如何正式构建证明的指导。

很明显，在搜索下一个smmalest时，您只需搜索，直到找到前一个0为止。例如，在选择排序中，扫描数组，查找下一个最小的数字以交换到当前位置。由于只有0和1，您可以在遇到第一个0时停止扫描，因为它是下一个最小的数字，因此无需在此循环中继续扫描阵列的其余部分。如果未找到0，则排序完成，因为未排序的部分都是1

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插入排序基本相同。在这种情况下，它们都是开启的。

首先，你应该记住时间复杂性的含义，然后了解每种排序对其元素的排序方式。然后你可以考虑边界情况，比如，0个元素，10000个元素不是真正的边界情况，n个元素，2个元素：@mayo，那不是2个元素。这是2个键，包含n个元素。我相信其他选民也不理解这个问题，因为它实际上是一个很好的问题。@mayo感谢您回答这个问题：。只是澄清一下，在选择排序的每个循环迭代中，您都从先前停止的位置继续扫描。因此，这不同于普通的选择排序，在这里，您可以多次扫描相同的项目，而在这里，您只能累计扫描数组一次。否。他们都在^2上。您忽略了一个事实，即在第i次迭代中，找到第一个0的概率是有偏差的，因为您跳过了不是零的元素。显然，你可以对它进行很多调整，但这不再是选择排序了。概率无关紧要。该算法基本上是扫描数组一次，然后将任何0交换到开头。这不是选择排序，也不是插入排序。没有人声称这不能在中完成，问题是这两个特定算法的复杂度是多少。好吧，如果你使用选择排序而不做任何修改，那么不管输入是什么，它总是在^2上。至于插入排序，最坏的情况也是在^2上，最好的情况是在输入已排序时打开。因此，未修改的算法将在^2上，但我认为问题意味着我们可以修改算法以优化二进制输入的情况。例如，当我们寻找最小值时，我们可以在找到第一个0时停止，而不是扫描数组的其余部分。非常感谢。我很高兴有人能回答这个问题。我已经阅读了你的解决方案，并从中学到了很多。