Fatal编程技术网
  • big-o/
  • Big o O（n）算法在计算时间上能超过O（n^2）吗？

Big o O（n）算法在计算时间上能超过O（n^2）吗？

big-o time-complexity

Big o O（n）算法在计算时间上能超过O（n^2）吗？,big-o,complexity-theory,time-complexity,Big O,Complexity Theory,Time Complexity,假设我有两种算法： for（int i=0；i

假设我有两种算法：

for（int i=0；i
这自然是
O（n^2）
。假设我还有：

for（int i=0；i<100；i++）{
对于（int j=0；j
这是
O（n）+O（n）+O（n）+O（n）+O（n）+。。。O（n）+=O（n）

看起来，即使我的第二个算法是
O（n）
，它也需要更长的时间。有人能详细介绍一下吗？我之所以提出这个问题，是因为我经常看到一些算法，比如说，它们会先执行一个排序步骤，或者类似的事情，当确定总的复杂度时，它只是限制算法的最复杂的元素

渐近复杂性（即大O和大θ表示的复杂性）完全忽略了所涉及的常数因子-它仅用于指示运行时间将如何随着输入大小的增大而变化

因此，对于某些给定的
n
，一个
n
算法可能比一个
n2
算法需要更长的时间，这当然是可能的-这将发生在
n
中，因为这将真正取决于所涉及的算法-对于您的特定示例，
n<100
就是这种情况，忽略两者之间不同的优化的可能性

对于分别使用
Θ（n）
和
Θ（n2）
时间的任意两个给定算法，您可能会看到：

  • 当
    n
    较小时，
    Θ（n）
    算法较慢，
    n
    增大时，
    Θ（n2）
    算法变慢
    （如果
    Θ（n）
    一个更复杂，即具有更高的常数因子，则会发生这种情况），或
  • Θ（n2）
    一个总是比较慢
虽然当然有可能
Θ（n）
算法会变慢，然后
Θ（n2）
1，然后
Θ（n）
再次变慢，以此类推，随着
n
的增加，直到
n
变得非常大，从这一点开始
Θ（n2）
1将始终变慢，虽然这不太可能发生

从数学角度来说： 假设
Θ（n2）
算法对一些
c
进行
cn2
运算

而
Θ（n）
算法对一些
d
进行
dn
运算

这与一致，因为我们可以假设
n
大于0（即，对于所有
n
），并且运行时间所在的两个函数是相同的

根据您的示例，如果您说
c=1
和
d=100
，那么
Θ（n）
算法将变慢，直到
n=100
，此时
Θ（n2）
算法将变慢

（由提供）

注： 从技术上讲，big-O只是一个上界，这意味着你可以说一个
O（1）
算法（或者任何需要
O（n2）
或更短时间的算法）也需要
O（n2）
。因此，我使用了大θ（Θ）符号，这只是一个紧界。有关更多信息，请参阅

Big-O通常被非正式地视为或被教导为紧束缚，因此您可能已经基本上在不知道的情况下使用了Big-Theta

如果我们只讨论一个上界（根据big-O的正式定义），那将是一个“万事俱备”的情况，
O（n）
一个可以更快，
O（n2）
一个可以更快，或者它们可以花费相同的时间（渐进地）-对于比较算法的大O，人们通常无法得出特别有意义的结论，我们只能说，给定某个算法的大O，该算法不会花费超过该时间量的时间（渐进）。

长话短说，是的，它可以。
O
的定义基于这样一个事实，即
O（f（x））
意味着
g（x）
在足够大的
x
的情况下，运行时间肯定比
f（x）
要长

例如，一个已知的事实是，对于小值，合并排序优于插入排序（如果我没记错的话，小于
31
的
n
应该是这样的）

Big
O（n）
并不意味着比较不同算法的相对速度。它们是用来测量输入量增加时运行时间增加的速度。比如说,

  • O（n）
    表示如果
    n
    乘以1000，则运行时间大致乘以1000 
  • O（n^2）
    意味着如果
    n
    乘以1000，则运行大致乘以1000000
因此，当
n
足够大时，任何
O（n）
算法都将击败
O（n^2）
算法。这并不意味着对于固定的
n

是的，就运行时间而言，O（n）算法可以超过O（n2）算法。当常数因子（我们在大O表示法中省略）很大时，就会发生这种情况。例如，在上面的代码中，O（n）算法将有一个较大的常数因子。因此，它的性能比在O（n2）中运行n<10的算法差

这里，n=100是交叉点。因此，当一个任务可以同时在O（n）和O（n2）中执行，并且线性算法的常数因子大于二次算法的常数因子时，我们倾向于选择运行时间较差的算法。 例如，在对数组进行排序时，对于较小的数组，我们会切换到插入排序，即使合并排序或快速排序的运行速度逐渐加快。这是因为插入排序的常量因子小于合并/快速排序，并且运行速度更快。

是。 
for (int i = 0; i < n; i++) {       (* A, the O(n*n) algorithm. *)

for (int i = 0; i < 100; i++) {     (* B, the O(n) algorithm. *)