C OpenGL沿路径的管状体

所以我在玩OpenGL，试图找出如何画一些有趣的形状

现在，我在做一根管子。我可以画一个直管，只要：

void tube(GLfloat radius, GLfloat segment_length) {
    glPolygonMode(GL_BACK, GL_NONE);
    glPolygonMode(GL_FRONT, GL_FILL);

    glPushMatrix(); {
        GLfloat z1 = 0.0;
        GLfloat z2 = segment_length;

        GLfloat y_offset = 0.0;
        GLfloat y_change = 0.00;

        int i = 0;
        int j = 0;
        for (j = 0; j < 20; j++) {
            glPushMatrix(); {
                glBegin(GL_TRIANGLE_STRIP); {
                    for (i = 360; i >= 0; i--) {
                        GLfloat theta = i * pi/180;
                        GLfloat x = radius * cos(theta);
                        GLfloat y = radius * sin(theta) + y_offset;

                        glVertex3f(x, y, z1);
                        glVertex3f(x, y, z2);
                    }
                } glEnd();
            } glPopMatrix();

            // attach the front of the next segment to the back of the previous
            z1 = z2;
            z2 += segment_length;

            // make some other adjustments
            y_offset += y_change;
        }
    } glPopMatrix();
}

空心管（GLfloat半径、GLfloat段长度）{
glPolygonMode（GL_BACK，GL_NONE）；
glPolygonMode（GL_前端，GL_填充）；
glPushMatrix（）{
GLZ1=0.0；
GLfloat z2=段长度；
GLfloat y_偏移=0.0；
GLfloat y_变化=0.00；
int i=0；
int j=0；
对于（j=0；j<20；j++）{
glPushMatrix（）{
glBegin（GLU三角带）{
对于（i=360；i>=0；i--）{
GLfloatθ=i*pi/180；
glx=半径*cos（θ）；
GLfloat y=半径*sin（θ）+y_偏移；
glVertex3f（x，y，z1）；
glVertex3f（x，y，z2）；
}
}格伦德（）；
}glPopMatrix（）；
//将下一段的前部连接到上一段的后部
z1=z2；
z2+=段长度；
//做一些其他的调整
y_偏移量+=y_变化；
}
}glPopMatrix（）；
}

然而，我还没有弄明白如何使管道沿着任何预定义的路径，比如螺旋线，甚至是一条简单的线。如果将y_change更改为类似于0.01的值，它将在y方向上额外绘制每个管段偏移0.01。那太好了，但是我怎样才能使每个片段指向那个方向呢？换言之，现在绘制的每个管段都面向相同的方向，并且该方向不是管的方向（因为y_change=0.01时，该方向略微“向上”）

我不知道如何进行。我通过获取上一段和当前段之间的向量来处理向量，但我不确定如何处理它。

这个想法被称为路径控制挤出，即，你有一个基本的n维形状，并沿着n+1维曲线挤出它。我能读懂你的脸：“哈，他在说什么？”

这是一个粗略的轮廓。首先，您需要一个函数，将一个值（通常称为t）映射到空间中的连续平滑曲线。例如，螺钉：

path(t): R → R³, t ↦ ( a·sin(k·t), b·cos(k·t), c·t )

其思想是，找到一个局部坐标基来定义顶点相对于该路径的位置-有意义的是，其中一个坐标与该路径平行对齐，因此您希望找到它的切线。这是通过查找其梯度来实现的：

tangent(t): R → R³, t ↦ ( k·a·cos(k·t), -k·b·sin(k·t), c ) = d/dt path(t)

这是指向曲线的局部基向量，局部坐标系的原点在曲线的点

t

但是我们需要另外两个向量，来形成一个完整的3d基础。通常，让第二个基点垂直于曲率是一个很好的选择，这是通过求切线的旋度得到的：

normal(t): R → R³, t ↦ ( -k²·a·sin(k·t), -k²·b·cos(k·t), 0 ) = d/dt tangent(t) = d²/dt² path(t)

这就是所谓的正常

可以得到第三个基向量，取法线和切线的叉积，得到副法线。我会让你把这件事作为练习来解决

现在，要沿曲线挤出形状，您必须将路径分割为段，只需在选定范围内迭代

t

，即可获得局部原点。拉伸形状的点相对于此原点路径（t）。假设你的形状由x-y平面上的点P_n组成，那么：

for t in [k..l]:
    for p in P_n:
        yield_vertex( path(t).x + binormal(t).x * p.x, 
                      path(t).y + normal(t).y * p.y, 
                      path(t).z )

---

我将把它留给你们，弄清楚如何将它应用到OpenGL，毕竟你们应该通过思考来学习一些东西。如果明天才能解决，我很乐意为您提供解决方案，但通常由您自己解决会更有趣。

将其简化为。

此api能够沿以下路径进行挤压：

---

物理解释对于挤压问题是很好的解释（从代数矢量的角度）：

事实上，我们可以看到：

1） 路径（t）是r（α（t）），其中α（t）=kt，k=2PI/w r（t）-具有三维（欧几里德空间）坐标的位置向量：x（t）、y（t）、z（t） alpha-中心的角度 w-标量角速度=2PI/k=（rxv）/| | r^2 | | |这里x是向量积

切向（t）是v（t）切向速度=dr/dt（梯度）

法线（t）是（t）法线加速度=dv/dt

副法线（b）是向量积b（t）=a（t）xv（t）的结果

副法线（b）、法线（a）和切线（v）向量定义了沿空间曲线（r）的坐标正交局部系统-参见node24.html文章中的图2.6

因此，如果我已经记住了计算出的b（=a x v）、n（=a=dv/dt）和v（=dr/dt）的局部值，我可以使用从BNV系统到XYZ（从一个坐标系统到另一个坐标系统的转换；两者都是正交系统）的一种转换来获得x，y，z坐标； 总之，XYZ中的任何点（x，y，z）将被写入BNV系统中其投影点的线性组合

物理学见运动方程：

您可以在本数学文档（幻灯片3和5）中看到这一点：

备注：

-不要忘记，一些n-可导函数可以分解为函数的线性组合，如sin和cos（参见Fourier：）

-在plus中，不要忘记此组合函数（需要区分时有用的规则）：

结论：

-如果为一个三维实体（=三维模型=三维对象）找到一个三维参数化函数（=算法），则可以在三维空间中绘制它

-参数化不是绘制三维实体（三维对象）的单一方法。。。 例如可以使用旋转的2D函数来获得它

或者，请参见另一种方法（而不是参数化）以获取三维实体：管状体（沿路径拉伸）图像，作为中两个棱镜的相交结果 将P'（投影点P到两个棱镜的相交平面）的计算作为pr