C 数值微分

如何计算一个函数的数值二阶导数，该函数包含无穷远的指数和奇点。不幸的是，“C中的数值配方”中提供的Ridder方法的数值导数只能计算一阶导数（它需要事先对函数进行解析表达式）。此外，我尝试过切比雪夫近似，并在之后对函数进行微分，但给出的值与实际值相差甚远。我也尝试过数学论文中提供的一些有限差分算法，但它们也容易出错。函数是e^（x/2）/x^2。在这件事上，如果有任何帮助，我将不胜感激

提前谢谢

<>最新编辑：问题解决了C++中的FADBAD库做得非常好。可通过以下途径获得：

编辑：

// The compilation command used is given below
// gcc Q3.c nrutil.c DFRIDR.c -lm -o Q3

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include "nr.h"

#define LIM1 20.0
#define a -5.0
#define b 5.0
#define pre 100.0 // This defines the pre
/* This file calculates the func at given points, makes a 
 * plot. It also calculates the maximum and minimum of the func
 * at given points and its first and second numerical derivative.
*/
float func(float x)
{
    return exp(x / 2) / pow(x, 2);
}

int main(void)
{
    FILE *fp = fopen("Q3data.dat", "w+"), *fp2 = fopen("Q3results.dat", "w+");
    int i; // Declaring our loop variable
    float x, y, min, max, err, nd1, nd2;
    // Define the initial value of the func to be the minimum
    min = func(0); 
    for(i = 0; x < LIM1 ; i++)
    {   
        x = i / pre; // There is a singularity at x = 0 
        y = func(x);
        if(y < min)
            min = y;
        fprintf(fp, "%f \t %f \n", x, y);
    }
    fprintf(fp, "\n\n");
    max = 0;
    for(i = 0, x = a; x < b; i++)
    {   
        x = a + i / pre;
        y = func(x);
        nd1 = dfridr(func, x, 0.1, &err); 
        //nd2 = dfridr((*func), x, 0.1, &err);
        fprintf(fp, "%f \t %f \t %f \t %f \n", x, y, nd1);
        if(y > max)
            max = y;
    }

    fprintf(fp2, "The minimum value of f(x) is %f when x is between 0 and 20. \n", min);
    fprintf(fp2, "The maximum value of f(x) is %f when x is between -5 and 5. \n", max);
    fclose(fp);
    fclose(fp2);
    return 0;
}

//下面给出了使用的编译命令
//gcc Q3.c nrutil.c DFRIDR.c-lm-o Q3
#包括
#包括
#包括“nr.h”
#定义LIM1 20.0
#定义一个-5.0
#定义B5.0
#定义pre 100.0//这定义了pre
/*此文件计算给定点处的func，并生成
*阴谋。它还计算func的最大值和最小值
*在给定点及其一阶和二阶数值导数。
*/
浮点函数（浮点x）
{
返回exp（x/2）/pow（x，2）；
}
内部主（空）
{
文件*fp=fopen（“Q3data.dat”，“w+”），*fp2=fopen（“Q3results.dat”，“w+”）；
int i；//声明循环变量
浮动x、y、最小值、最大值、误差、nd1、nd2；
//将func的初始值定义为最小值
min=func（0）；
对于（i=0；x最大值）
max=y；
}
fprintf（fp2，“当x介于0和20之间时，f（x）的最小值为%f。\n”，min）；
fprintf（fp2，“当x介于-5和5之间时，f（x）的最大值为%f。\n”，max）；
fclose（fp）；
fclose（fp2）；
返回0；
}

编辑：切比雪夫

// The compilation command used is given below
//gcc Q3.c nrutil.c CHEBEV.c CHEBFT.c CHDER.c -lm -o Q3


#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include "nr.h"
#define NVAL 150 // Degree of Chebyshev polynomial
#define LIM1 20.0
#define a -5.0
#define b 5.0
#define pre 100.0 // This defines the pre
/* This file calculates the func at given points, makes a 
 * plot. It also calculates the maximum and minimum of the func
 * at given points and its first and second numerical derivative.
*/
float func(float x)
{
    return exp(x / 2) / pow(x, 2);
}

int main(void)
{
    FILE *fp = fopen("Q3data.dat", "w+"), *fp2 = fopen("Q3results.dat", "w+");
    int i; // Declaring our loop variable
    float x, y, min, max;
    float nd1, nd2, c[NVAL], cder[NVAL], cder2[NVAL];
    // Define the initial value of the func to be the minimum
    min = func(0); 

    for(i = 0; x < LIM1 ; i++)
    {   
        x = i / pre; // There is a singularity at x = 0 
        y = func(x);
        if(y < min)
            min = y;
        fprintf(fp, "%f \t %f \n", x, y);
    }
    fprintf(fp, "\n\n");
    max = 0;
    // We make a Chebyshev approximation to our function our interval of interest 
    // The purpose is to calculate the derivatives easily
    chebft(a,b,c,NVAL,func);
    //Evaluate the derivatives
    chder(a,b,c,cder,NVAL); // First order derivative
    chder(a,b,cder,cder2,NVAL); // Second order derivative
    for(i = 0, x = a; x < b; i++)
    {   
        x = a + i / pre;
        y = func(x);
        nd1 = chebev(a,b,cder,NVAL,x);
        nd2 = chebev(a,b,cder2,NVAL,x);

        fprintf(fp, "%f \t %f \t %f \t %f  \n", x, y, nd1, nd2);
        if(y > max)
            max = y;
    }

    fprintf(fp2, "The minimum value of f(x) is %f when x is between 0 and 20. \n", min);
    fprintf(fp2, "The maximum value of f(x) is %f when x is between -5 and 5. \n", max);
    fclose(fp);
    fclose(fp2);
    return 0;
}

//下面给出了使用的编译命令
//gcc Q3.c nrutil.c CHEBEV.c CHEBFT.c CHDER.c-lm-o Q3
#包括
#包括
#包括“nr.h”
#定义NVAL 150//切比雪夫多项式的阶数
#定义LIM1 20.0
#定义一个-5.0
#定义B5.0
#定义pre 100.0//这定义了pre
/*此文件计算给定点处的func，并生成
*阴谋。它还计算func的最大值和最小值
*在给定点及其一阶和二阶数值导数。
*/
浮点函数（浮点x）
{
返回exp（x/2）/pow（x，2）；
}
内部主（空）
{
文件*fp=fopen（“Q3data.dat”，“w+”），*fp2=fopen（“Q3results.dat”，“w+”）；
int i；//声明循环变量
浮动x，y，最小值，最大值；
浮点数nd1，nd2，c[NVAL]，cder[NVAL]，cder2[NVAL]；
//将func的初始值定义为最小值
min=func（0）；
对于（i=0；x最大值）
max=y；
}
fprintf（fp2，“当x介于0和20之间时，f（x）的最小值为%f。\n”，min）；
fprintf（fp2，“当x介于-5和5之间时，f（x）的最大值为%f。\n”，max）；
fclose（fp）；
fclose（fp2）；
返回0；
}

该函数是可微的，因此使用数值方法可能不是最好的。第二个导数是：

6*exp（x/2）/（x^4）-2*exp（x/2）/x^3+exp（x/2）/（4*x^2）

---

当然，可以简化上述步骤以加快计算速度。编辑：最初的公式是错误的。

该函数是可微的，因此使用数值方法可能不是最好的。第二个导数是：

6*exp（x/2）/（x^4）-2*exp（x/2）/x^3+exp（x/2）/（4*x^2）

---

当然，可以简化上述步骤以加快计算速度。编辑：第一次将原始公式弄错。

如果您想要100%的数值方法，请查看有关立方样条插值的详细信息（第3.3章）。它将给出任意位置的2rd导数

使用

x

和

y

值调用

spline（）

，以返回

y2

中的二阶导数。二阶导数在每个区间内线性变化。例如，如果你有

x      y      y2
0     10     -30
2      5     -15
4     -5     -10

然后，在

x=1

处的二阶导数是

y2=-22.5

，介于-30和-15之间

---

您还可以创建一个新的

splint（）

函数，以返回二阶导数

a*y2a[i]+b*y2a[i+1]

如果您想要100%的数值方法，请查看用于立方样条插值的函数（Charter 3.3）。它将给出任意位置的2rd导数

使用

x

和

y

值调用

spline（）

，以返回

y2

中的二阶导数。二阶导数在每个区间内线性变化。例如，如果你有

x      y      y2
0     10     -30
2      5     -15
4     -5     -10

然后，在

x=1

处的二阶导数是

y2=-22.5

，介于-30和-15之间

你也可以做一个