Computer science 为什么是MSB'；在2'期间丢弃；补码乘法？

我很难理解为什么我们在对2的补数进行乘法时丢弃MSB

让我们以

101

（十进制：-3）和

011

（十进制：3）为例。算法是这样的：首先我们把数字的长度加倍，然后我们像在学校一样用小数进行乘法，然后我们取（加倍长度）*2=6个最低有效位

双倍长度：

101 -> 111101
011 -> 000011

做乘法：

111101*000011=10110111

（十进制：-73）

正如我们所看到的，这个结果是错误的

获取6个最低有效位（删除2个最高有效位）。

10110111->110111

（十进制：-9）

---

所以结果就神奇地正确了。这怎么解释呢？我知道MSB是一种特殊的规则，我在学校里使用过的规则不能100%适用于2的补码，但尽管我完全理解学校的乘法规则，但我不能对2的补码乘法的最后一步（我理解的前两个步骤）掉以轻心。

这只是关于算术。它在语义上并没有错，因为它实际上是一个正确的结果，因为在计算机中对整数的操作会导致丢弃高位，这类似于k位计算机中的模2k

---

首先，您应该知道，对于具有相同位模式的无符号数和2的补码有符号数，非加宽乘法是相同的

例如：10012 x 00112

• 作为无符号处理，我们有9 x 3=27（0001 10112）
• 将其视为签名，我们有-7 x 3=-21（1110 10112）†

你可以看到一个具体的案例。对于一般情况，以2个正k位数字

m

和

n

为例。这意味着它们的负值

-m

和

-n

将分别用2k-m和2k-n§表示。现在我们将这两个负值相乘，得到一个k位结果：

（-m）-n）模块2k
=（2k-m）（2k-n）模块2k
=[22k-2k（m+n）+mn]mod 2k
=mn mod 2k
=（-m）-n模2k

如果一个数字为正，另一个为负，则情况相同

因此，无论将两位模式视为有符号还是无符号，结果都是一样的

---

现在我们有两个n位无符号数，对它们进行乘法，我们得到一个2n位的数字，因为n位数字和m位数字相乘会产生一个（n+m）位的结果

但是如果我们只关心结果的低n位，那么它与具有相同位模式的两个n位无符号数的结果完全相同，如上所述

所以我们取两个（n/2）位有符号数，符号扩展到n位（第一步），然后进行非加宽乘法（第二步），得到一个n位的结果。我们现在得到的和有符号加宽乘法从n/2位到n位完全相同

将有符号操作数中的位加倍实际上只是使它们与最终结果一样宽，因此乘法现在是无符号非加宽运算，而不是像以前那样是有符号加宽运算

†如果您注意到，如果您查看上面的证明，有符号和无符号版本的高位也会相互关联

§因为这就是定义：

N位数字的两个补码被定义为相对于2N的；换句话说，它是从2N中减去数字的结果

---

与二进制中的1的补码和2的补码类似，在十进制中我们必须表示负数，尽管负数在日常生活中没有使用，并且超出了这个问题的范围

这只是算术问题。它在语义上并没有错，因为它实际上是一个正确的结果，因为在计算机中对整数的操作会导致丢弃高位，这类似于k位计算机中的模2k

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首先，您应该知道，对于具有相同位模式的无符号数和2的补码有符号数，非加宽乘法是相同的

例如：10012 x 00112

• 作为无符号处理，我们有9 x 3=27（0001 10112）
• 将其视为签名，我们有-7 x 3=-21（1110 10112）†

你可以看到一个具体的案例。对于一般情况，以2个正k位数字

m

和

n

为例。这意味着它们的负值

-m

和

-n

将分别用2k-m和2k-n§表示。现在我们将这两个负值相乘，得到一个k位结果：

（-m）-n）模块2k
=（2k-m）（2k-n）模块2k
=[22k-2k（m+n）+mn]mod 2k
=mn mod 2k
=（-m）-n模2k

如果一个数字为正，另一个为负，则情况相同

因此，无论将两位模式视为有符号还是无符号，结果都是一样的

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现在我们有两个n位无符号数，对它们进行乘法，我们得到一个2n位的数字，因为n位数字和m位数字相乘会产生一个（n+m）位的结果

但是如果我们只关心结果的低n位，那么它与具有相同位模式的两个n位无符号数的结果完全相同，如上所述

所以我们取两个（n/2）位有符号数，符号扩展到n位（第一步），然后进行非加宽乘法（第二步），得到一个n位的结果。我们现在得到的和有符号加宽乘法从n/2位到n位完全相同

将有符号操作数中的位加倍实际上只是使它们与最终结果一样宽，因此乘法现在是无符号非加宽运算，而不是像以前那样是有符号加宽运算

†如果您注意到，有符号和无符号版本的高位也会相互关联，如果您

  |
  111 111
  |   011
  -------
  |    11 
  |   11
  |  11
  |11
  11
 11
  |

+-------+   +-------+   +-------+   +-------+   +-------+   +-------+    
|000 011| + |000 110| + |001 100| + |011 000| + |110 000| + |100 000|
+-------+   +-------+   +-------+   +-------+   +-------+   +-------+

=

+-------+
|111 101| Correct result with no bits discarded (but for the sums carries)  
+-------+

    111101  
    000011 x
    ------ 
    111101
   111101
  000000
 000000
000000     +
----------
0010110111

    111101  
    000011 x
    ------ 
1111111101
111111101 
00000000
0000000
000000     +
----------
1111110111