Computer science 如果f（n）=o（g（n）），那么2^（f（n））=o（2^（g（n））？

请注意，我在这里要求little-o（见类似问题）-对于big-Oh，这显然是错误的-对于little-o，它感觉是对的，但似乎无法证明它

编辑：很高兴我提出了一个辩论：）为了简单起见，假设f，g>0，至少如果g（n）收敛到正无穷大，对于n到正无穷大（如果g（n）不是，那么很容易找到反例）

证明的草图：

前提是：g（n）收敛到正无穷大，因为n收敛到正无穷大

o（g（n））中的f（n）是指：

从那以后是

(2^eps)^g(n) < eps*2^g(n) for all n > n2.

（2^eps）^g（n）n2。

因此，对于每0=max（n0，n2），因此

2^abs（f（n））<2^abs（g（n）*eps）=（2^eps）^g（n）n3。

对于每个eps3>1，也应：

2^abs(f(n)) < eps*2^g(n) < eps3*2^g(n)

2^abs（f（n））

因此，对于每一个大于0的eps，存在一个n3，因此

2^abs(f(n)) < eps*2^g(n) for all n > n3

2^abs（f（n））n3

因为对于所有n，2^f（n）<2^abs（f（n）），对于所有实x，2^x>0，它如下

abs(2^f(n)) < abs(eps*2^g(n)) for all n > n3

abs（2^f（n））n3

q、 急诊室

如果有不清楚或错误的地方，请评论

编辑：关于其他g（n）的一些想法：

g（n）的子序列受到限制，即它存在一些x，因此对于所有n>n0，不存在abs（g（n））>=x的n0：

o（g（n））只包含在某些n之后为常数0或收敛到0的函数。那么2^g（n）也有一个受限的子序列，但是2^f（n）在某个点之后是常数1

对于所有n>n0，没有n0 so g（n）>0：

---

2^g（n）<1如果g（n）<0，那么g（n）有一个受限的子序列，意思是o（2^g（n））只由在一些n之后为常数0或收敛到0的函数组成。

这里有一个答案。结果取决于g（n）的收敛性质

首先考虑相关的限制：

lim(x->inf) log_2 ((2^(f(n))) / (2^(g(n))))
=
lim(x->inf) ( log_2(2^(f(n))) - log_2(2^(g(n))) )
=
lim(x->inf) ( f(n) - g(n) ) = lim(x->inf) ( g(n) * f(n) / g(n) - g(n) )
=
lim(x->inf) ( -g(n) ) = - lim(x->inf) g(n)

。。。现在，把这个问题转化为你文章中原始问题的形式，如果转换极限和对数（我认为是这样）在数学上是正确的，那么我们应该：

lim(x->inf) log_2 ((2^(f(n))) / (2^(g(n))))
=
log_2 lim(x->inf) ((2^(f(n))) / (2^(g(n)))).

现在，继续回答这个问题。如果它是真的，那么

2^(f(n)) = o(2^(g(n))),

lim(x->inf) g(n) = inf

然后在极限中，右侧变为

log_2 (0) = - inf

。。。所以在这种情况下

2^(f(n)) = o(2^(g(n))),

lim(x->inf) g(n) = inf

这个结果似乎是有道理的。考虑<代码> f（x）＝EXP（-x）和g（x）＝1 -EXP（-x）< /代码>。显然，在这个例子中

f（x）=o（g（x））

。然而，

2^（f（x））不是o（2^（g（x））

lim(x->inf) (2^exp(-x)) / (2^(1-exp(-x))) = 1/2.

但是给定

f（x）=exp（x），g（x）=exp（2x）

，其中也

f（x）=o（g（x））

和

lim（x->inf）g（x）=inf

，满足上述条件，我们得到

lim(x->inf) (2^exp(x)) / (2^exp(2x))
=
lim(x->inf) 1 / 2^(exp(x)*(exp(x) - 1)) = 0

---

因此，

2^（f（x））=o（2^（g（x））

用一个例子简单证明，

如果f（n）=O（g（n）），
2^（f（n））不等于O（2^g（n））） 设f（n）=2logn和 g（n）=对数n
（假设日志是以2为底的）

---

我们知道，2log n还有，为什么big Oh显然是错误的？我怀疑这是否符合常见问题。我怀疑这是一个建设性的评论。如果这不符合FAQ，那么链接的类似问题也不符合FAQ，其他标记为大oI的问题或多或少也不符合FAQ。我不认为从

lim（g*f/g-g）

到

lim-g

的步骤对所有

f

和

g

都有效（至少没有一些理由/解释，因为

g

可以比

f/g

变为零更快地变为无穷大）。用对数交换极限是正确的（对数对于正数是连续的，这是您所需要的）。我同意您的结论（这取决于

g

的特定属性）也许这证明了这一点：对于任何

eps

，无论多么小，我们都有

limf（n）/g（n）

，对于

n

，以及一些

n

（假设限制的大小是预期的）。因此，

lim（gf/g-g）

。你认为呢？（对于后面的步骤，它假设

g>0

，但是如果g，它应该是相同的形式。附录：事实上，对于后面的步骤，它似乎不仅假设

g>0

，而且它还覆盖了

lim f/g

，所以可能这也会影响到事情。错误-请再检查一遍-不确定例如，代码> f（x）＝x，g（x）＝2x，<代码> f（x）<代码> o（g（x））< /代码> -与另一个相同。考虑这是容易的情况，所以我不小心。我打算<代码> EXP（[ 2 ] x）< /代码>，而不是<代码> [2 ] x < /代码>。对于另一种情况，打算<代码> f（x）< /C> >代码>代码> o（g（x））。，如前所述。第一行-你的意思是g（n）>0（对于某一点之后的所有n）？-如果

g->inf

对于

n->inf

（如下所示），这是不必要的。如果g（n）不是（到无穷大）你能证明这一点或给出一个反例吗？假设g>0表示所有n。同样，你的定义是错误的-

o

意味着对于每个c>0，每个n=>n0都有一个n0:f0。那么eps>1呢？同样在第

（2^eps）^g（n）行中n3.

你是说eps2吗？@Mr_和Mrs_D我为我能想到的其他案例添加了一些证据的草图（如果你能想到更多，请发表评论）。是的，g（n）>0不是真的需要。在>vs>=：更正了它。eps>1通常不是问题，如果abs（f（n））=1。如果abs（f（n））=1。确实，但我需要为每个eps>0找到一个合适的n0 s.t.fn0！你的证明似乎表明，如果有eps，那么-on

g->inf

：不需要。你只是在使用g>0。只要f为零，我猜g可能是有界的。编辑：（2^eps2）^所有n>n3的g（n）n3的（2^eps）^g（n）2^(f(n)) = o(2^(g(n))),

log_2 (0) = - inf

lim(x->inf) g(n) = inf

lim(x->inf) (2^exp(-x)) / (2^(1-exp(-x))) = 1/2.

lim(x->inf) (2^exp(x)) / (2^exp(2x))
=
lim(x->inf) 1 / 2^(exp(x)*(exp(x) - 1)) = 0