我如何使coq相信（A/\B）/\C==A/\B/\C？

在我的证明中，我偶然发现在我的假设中有一个

A/\B/\C

，我需要证明

（A/\B）/\C

。这些在逻辑上是完全相同的，但coq不会用

假设来解决这些问题。

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我一直在应用一个公理来解决这些问题，但是有没有更优雅（正确）的方法来处理这个问题呢？

所以我的方法就是定义我的引理

Lemma conj_assoc : forall A B C, A /\ (B /\ C) <-> (A /\ B) /\ C.

引理连接：对于所有A B C，A/\（B/\C）（A/\B）/\C。 这是一个意味着另一个

简介。拆分。

然后将此拆分为两个目标

A/\（B/\C）->（A/\B）/\C

（A/\B）/\C->A/\（B/\C）

证明每一个都大致相同。第（1）款

• intro Habc.

  从左侧尺寸中获取假设

• 将Habc作为[Ha Hbc]销毁。将Hbc分解为[Hb Hc]。

  以获得单独的假设

• auto

  使用这些假设

我把它留给你去解决，但它非常相似

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然后

Qed.

作为一个一般提示，如果您怀疑有这样明显的问题，请查看标准库。下面是如何：

Locate”/\“

为我们生成一个解析

符号的响应

Notation            Scope     
"A /\ B" := and A B  : type_scope
                      (default interpretation)

现在我们可以发出命令，
SearchAbout and.
查看范围内的内容，并发现
和_assoc
见证了您感兴趣的含义。事实上，你可以从你的直觉中得到提示：
直觉
策略可以自己利用这一暗示

Lemma conj_example : forall A B C D,
  (A /\ B) /\ C -> (A /\ (B /\ C) -> D) -> D.
Proof. intuition. Qed.

如果你有
A/\B/\C
作为假设，并且你的目标是
（A/\B）/\C
，你可以使用策略
。这种策略解决了命题演算中的所有重言式。还有一种策略
firstorder
，它可以用量词解决一些公式

如果您有
A/\B/\C
，并且希望将
（A/\B）/\C
作为引理的参数传递，那么您需要做更多的工作。一种方法是将
（A/\B）/\C
设定为中间目标并加以证明：

assert ((A /\ B) /\ C). tauto.

如果
A
、
B
和
C
是大型表达式，则可以使用复合策略来匹配假设
H:A/\B/\C
，并对其应用tauto策略。这是一种严厉的方法，在本例中使用过多，但在更复杂的情况下非常有用，您需要使用许多类似的案例自动进行证明

match type of H with ?x /\ ?y /\ ?z =>
  assert (x /\ (y /\ z)); [tauto | clear H]
end.

有一种更简单的方法，就是应用一个已知的引理来执行转换

apply and_assoc in H.

您可以通过浏览库文档找到引理。你也可以搜索它。这并不是最容易搜索的引理，因为它是一个等价的引理，搜索工具是面向隐含和等价的。您可以使用
SearchPattern（\/\\\\\/\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\。您可以使用
SearchRewrite（\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\。不幸的是，这并没有找到我们要找的东西，这是一个形式为
的引理，对于所有x1…xn，（？a/\？B/\？C）？D
。工作是什么

Coq < SearchPattern (_ <-> (_ /\ _ /\ _))
and_assoc: forall A B C : Prop, (A /\ B) /\ C <-> A /\ B /\ C

Coq
我想我应该解释一下为什么
A/\（B/\C）==（A/\B）/\C
不起作用。你的基本意思是（用建设性的Coq术语）证明
A/\（B/\C）
与
（A/\B）/\C
相同。从证明（1）和（2）中可以看出，它们不是。在我的公式中，我们说我可以将一个证明转化为另一个。只是一个编程细节：你可以编写
将Habc分解为[Ha[Hb Hc]]
这个引理自Coq 8.3以来以
和_assoc
的形式存在。你可以用
tauto
非常简单地证明这一点。