如何证明Coq中的命题可拓性？

我试图证明一个关于Prop的替换定理，但我失败得很惨。下列定理可以用coq证明吗？如果不能，为什么不能

  Theorem prop_subst:
    forall (f : Prop -> Prop) (P Q : Prop), 
      (P <-> Q) -> ((f P) <-> (f Q)).

定理prop\u subst:
forall（f:道具->道具）（P Q:道具），
（P Q）->（f P）（f Q））。

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关键是，在逻辑上，证明是通过归纳法进行的。据我所知，道具的定义不是归纳的。在Coq中如何证明这样一个定理？

您所寻找的是所谓的“可拓性”：

编辑：

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你可以承认谓词的可扩展性，正如Coq FAQ中所提到的。

答案是：我所寻找的属性称为命题可扩展性，这意味着

对于所有pq:Prop，（pq）->（p=q）

。反之，则微不足道。这是在

库Coq.Logic.ClassicalFacts

中定义的内容，以及来自经典的其他事实，即非直觉逻辑。上述定义称为

prop_扩展性

，可按如下方式使用：

Axiom equittenequal:prop_扩展性

。现在，您可以应用

等价物equal

，将其用于重写等。多亏克里斯托弗·米金斯基（Kristopher Micinski）指出了可拓性。

这就是命题可拓性

Lemma blah: forall (P Q: Prop), (forall (f:Prop -> Prop), f Q -> f P) -> P = Q.
  intros P Q H.
  apply (H (fun x => x = Q)).
  reflexivity.
Qed.

Section S.

Hypothesis prop_subst:
  forall (f : Prop -> Prop) (P Q : Prop), 
    (P <-> Q) -> ((f P) <-> (f Q)).

Lemma prop_subst_is_ext: forall P Q, (P <-> Q) -> P = Q.
  intros.
  apply blah.
  intro f.
  destruct (prop_subst f P Q); assumption.
Qed.

End S.

Check prop_subst_is_ext.

引理blah:forall（pq:Prop），（forall（f:Prop->Prop），fq->fp）->P=Q。 简介P Q H。 应用（H（乐趣x=>x=Q））。 自反性。 Qed。 第S节。 假设属性subst： forall（f:道具->道具）（P Q:道具）， （P Q）->（f P）（f Q））。 引理prop_subst_是：对于所有pq，（pq）->P=Q。 介绍。 胡说八道。 介绍f。 自毁（prop_subst f P Q）；假设。 Qed。 结束S。 检查prop_subst_是否为ext。

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我不认为你能证明这一点，但我不知道细节……我可以把它作为一条公理添加进去，但那有点粗俗，不是吗？@MayerGoldberg抱歉，你的问题读得太快了；-）我不认为这是可扩展性：请注意，我只使用了一个函数（作为上下文），而不是两个，就像可扩展性一样。我想要的是所谓的引用透明性：如果A是B，那么我应该能够在任何表达式中用B代替A，而不是在任何包含A的表达式中。另一方面，也许你的意思是“命题扩展性”，这不一样，但似乎给了我我想要的。该死，你打败了我；-），我正要给你指出常见问题解答中的部分，当你自己的答案最合适时，你可以通过将你的答案标记为已接受来帮助我学习Coq。你将获得声誉积分。不要害羞——堆栈溢出就是这样工作的。