Coq 如何显示函数的内射性？

我想证明的是：

定理add\n\u内射：对于所有的nmp，n+m=n+p->m=p.

+

是

加上

的符号，定义如下：

在Agda中，可以使用

cong（n+)

将

n+m=n+p

这一事实用于任何NMP

Coq的内置策略

注入

和

一致性

似乎都很有希望，但它们只适用于构造函数

我尝试了以下策略，不断出现奇怪的错误或陷入困境：

• 制作一个感应类型，用于捆绑（n+m=s）和（n+m=s）的证明

• 在显示

  Sum（nms）=Sum（nps）

• 使用构造

  Sum

  s、

  destruct

  ，以及引理来表示n+m=n+p

有没有更简单的方法来证明这一点？我觉得一定有一些我缺少的内置策略，或者是

展开时的一些诡计

更新

明白了：

Theorem add_n_injective : forall n m p, n + m = n + p -> m = p.
Proof.
  intros. induction n.
  - exact H.
  - apply IHn.  (* goal: n + m = n + p *)
    simpl in H. (* H: S (n + m) = S (n + p) *)
    congruence.
Qed.

感谢@ejgallego
鉴于
plus
函数可以是任意的（非内射的），因此
plus
的内射性不是一个“基本”语句

我要说的是，标准证明确实需要在左参数上进行
归纳
，事实上，使用这种方法，证明很快就会进行

当你达到形式为
S（n+m）=S（n+p）
的目标时，你需要
injection
来推导内部等式。
鉴于
plus
函数可以是任意的（非内射的），所以
plus的内射性不是一个“基本”语句

我要说的是，标准证明确实需要在左参数上进行
归纳
，事实上，使用这种方法，证明很快就会进行

当你达到一个形式为
S（n+m）=S（n+p）
的目标时，你需要
injection
来推导内部等式。
Agda cong策略也不能证明这个目标。（它可以显示
m=p->n+m=n+p
，但不能显示
n+m=n+p->m=p
）在Agda和coq中，您必须对n进行归纳。更紧凑的证明
现在是归纳n；[|注入1]。
@ejgallego，我尝试了
证明。介绍。现在诱导n；[|注1]
并获得“即使在头部降低后，当前目标中也没有第一个非依赖性假设”。@MaxHeiber do
介绍n m p
。Agda cong战术也不会证明这一目标。（它可以显示
m=p->n+m=n+p
，但不能显示
n+m=n+p->m=p
）在Agda和coq中，您必须对n进行归纳。更紧凑的证明
现在是归纳n；[|注入1]。
@ejgallego，我尝试了
证明。介绍。现在诱导n；[|注1]
并获得“即使在头部降低后，当前目标中也没有第一个非依赖性假设”。@MaxHeiber do
简介n m p
。
Theorem add_n_injective : forall n m p, n + m = n + p -> m = p.
Proof.
  intros. induction n.
  - exact H.
  - apply IHn.  (* goal: n + m = n + p *)
    simpl in H. (* H: S (n + m) = S (n + p) *)
    congruence.
Qed.