Coq 使子集类型与函数应用程序兼容

我试图熟悉Coq中的子集类型，我遇到了一种我不知道如何继续的用例。考虑一个期望大于2的自然数的函数，以及期望大于2和小于10的自然数的另一个函数。在后一个函数中，我想调用前一个函数，这应该是可能的，但似乎我必须做一些事情，使其类型适合于函数应用程序。这就是我想做的：

Definition add_one_if_gt_2 (i : {i1 : nat | i1 > 2}) := (proj1_sig i) + 1.
Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10 (i : {i1 : nat | i1 > 2 /\ i1 < 10}) := add_one_if_gt_2 i.

definitionadd_one_如果_gt_2（i:{i1:nat | i1>2}）：=（proj1_sig i）+1。
定义add_one_if_gt_2_和_lt_10（i:{i1:nat|i1>2/\i1<10}）：=add_one_if_gt_2 i。

中缺少什么？如果添加一个和一个以进行打字检查？一般来说，对于可能兼容的更复杂的子集类型，通常的处理方法是什么

另外，为了以防万一，我在子集类型规范中使用了
i1
，但是如果我使用
I
，它似乎也可以工作，尽管我不知道是否存在任何潜在问题，因为参数名称也是
I
。对这两个变量使用
i
会有问题吗？
一种可能是使用
程序
功能：

Require Import Program.

Program Definition add_one_if_gt_2 (i : {i1 : nat | i1 > 2}) :=
  i + 1.
Program Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10
  (i : {i1 : nat | i1 > 2 /\ i1 < 10}) :=
add_one_if_gt_2 i.

需要导入程序。
程序定义添加_one_如果_gt_2（i:{i1:nat | i1>2}）：=
i+1。
程序定义添加一个如果2和10
（i:{i1:nat|i1>2/\i1<10}）：=
如果第二个i，则添加第1个i。

如果您仔细阅读这段代码，您会注意到系统正在生成关于“义务”的消息——但在本例中，所有义务都非常简单，系统可以自动自行解析它们，并且定义立即完成。（在这种情况下，第二个定义产生的义务是
i>2/\i<10
意味着
i>2
）

在其他无法轻松解决义务的情况下，您可能会得到挂起的义务。在这种情况下，您可以使用Gallina指令，例如
下一个义务。
来进入证明模式并自己证明它们。（有关更多信息，请参阅Coq文档的相应章节。）
您手动执行此操作，因为不难解构
{i1:nat | i1>2/\i1<10}
类型的术语，它基本上是
nat
（
i1
）的三元组，还有两个证明：
i1>2
和
i2<10
。我们要做的是分解这个三元组，扔掉第三个组件，并将其重新打包成一个
{i1:nat | i1>2}
类型的项，这是一对：

Definition add_one_if_gt_2 (i : {i1 : nat | i1 > 2}) :=
  S (proj1_sig i).

Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10 (i : {i1 : nat | i1 > 2 /\ i1 < 10}) :=
  let '(exist _ i1 (conj i1_gt2 _)) := i in
  add_one_if_gt_2 (exist _ i1 i1_gt2).

使用强制机制，您可以将上述定义简化为：

Coercion sig_of_sig2 : sig2 >-> sig.

Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10_sig2' (i : {i1 : nat | i1 > 2 & i1 < 10}) :=
  add_one_if_gt_2 i.

强制sig\u的sig2:sig2>->sig。
定义加上_one_if_gt_2_和_lt_10_sig2'（i:{i1:nat | i1>2&i1<10}）：=
如果第二个i，则添加第1个i。

这正是您试图应用的解决方案

如果您不熟悉强制：如果遇到可以修复的类型错误，此机制会自动插入sig\u of_sig2（或其他合适的强制）。
对于子集类型，您会发现，有时很难对它们的相等性进行推理，因为平等的证明开始出现，这是违反直觉的。如果这会咬到你，我建议你看看在医院里是如何治疗的。
Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10_sig2 (i : {i1 : nat | i1 > 2 & i1 < 10}) :=
  add_one_if_gt_2 (sig_of_sig2 i).

Coercion sig_of_sig2 : sig2 >-> sig.

Definition add_one_if_gt_2_and_lt_10_sig2' (i : {i1 : nat | i1 > 2 & i1 < 10}) :=
  add_one_if_gt_2 i.