Coq 展开后折叠

我对折叠长度的定义如下：

Inductive list (X: Type) : Type :=
  | nil : list X
  | cons : X -> list X -> list X.

Arguments nil {X}.
Arguments cons {X} _ _.

Notation "x :: y" := (cons x y)
                     (at level 60, right associativity).
Notation "[ ]" := nil.

Fixpoint fold {X Y:Type} (f: X -> Y -> Y) (l:list X) (b:Y) : Y :=
  match l with
  | nil => b
  | h :: t => f h (fold f t b)
  end.

Definition fold_length {X : Type} (l : list X) : nat :=
  fold (fun _ n => S n) l 0.

  X : Type
  n : X
  l' : list X
  IHl' : fold_length l' = length l'
  ============================
   S (fold (fun (_ : X) (n0 : nat) => S n0) l' 0) = S (length l')

我必须证明一个定理，到目前为止，这是我的代码：

Theorem fold_length_correct : forall X (l : list X),
  fold_length l = length l.
Proof.
  intros X l.
  induction l as [| n l' IHl'].
  - simpl.
    unfold fold_length.
    simpl.
    reflexivity.
  - simpl.
    unfold fold_length.
    simpl.

现在，我的目标如下：

Inductive list (X: Type) : Type :=
  | nil : list X
  | cons : X -> list X -> list X.

Arguments nil {X}.
Arguments cons {X} _ _.

Notation "x :: y" := (cons x y)
                     (at level 60, right associativity).
Notation "[ ]" := nil.

Fixpoint fold {X Y:Type} (f: X -> Y -> Y) (l:list X) (b:Y) : Y :=
  match l with
  | nil => b
  | h :: t => f h (fold f t b)
  end.

Definition fold_length {X : Type} (l : list X) : nat :=
  fold (fun _ n => S n) l 0.

  X : Type
  n : X
  l' : list X
  IHl' : fold_length l' = length l'
  ============================
   S (fold (fun (_ : X) (n0 : nat) => S n0) l' 0) = S (length l')

现在我想使用fold_length的定义将表达式fold fun X:n0:nat=>sn0 l'0转换为fold_length l'。在Coq中有没有一种方法可以做到这一点在Coq中似乎有一种叫做折叠战术的东西。这能实现吗

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另外，是否有一种方法可以证明上述定理而不使用展开和折叠策略？

回答第一个问题，是的，这里可以使用折叠策略将等式的左侧替换为S fold_length l'。通常，对于函数f，fold f的功能不足以检测它可以折叠什么。但是如果你指定了整个术语，比如这里的fold_length l'，它就起作用了

---

关于你的第二个问题，请注意，如果所涉及的术语等同于一些简化，那么像自反性或假设这样的策略就可以得出结论。这里，归纳法的基本情况可以是自反性。对于第二种情况，假设fold是List.fold\u right，siml可以在不展开的情况下惊人地简化，您也不需要在此处展开或折叠。

要回答您的第一个问题，是的，这里可以使用折叠策略将等式的左侧替换为S fold\u length l'。通常，对于函数f，fold f的功能不足以检测它可以折叠什么。但是如果你指定了整个术语，比如这里的fold_length l'，它就起作用了

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关于你的第二个问题，请注意，如果所涉及的术语等同于一些简化，那么像自反性或假设这样的策略就可以得出结论。这里，归纳法的基本情况可以是自反性。对于第二种情况，假设fold是List.fold\u right，siml可以在不展开的情况下惊人地简化，您也不需要在此处展开或折叠。

您可以立即重写rewrite@ejgallego，谢谢。所以像fold这样的东西不能在这里使用？fold是什么？恐怕它不在房间里。请提供一个包含正确导入和定义的完整示例。@Sibi如下所述，YMMV在大多数情况下，折叠通常不足以很好地工作，但通常需要防止自身展开，而不是重新折叠。在Coq中控制缩减有点复杂，您可以使用siml标志（请参阅手册）或部署其他自定义解决方案，如mathcomp的nosimpl。@gallais谢谢，我现在已经使其独立@ejgallego感谢您的宝贵意见。您可以将其改写为立即重写@ejgallego谢谢。所以像fold这样的东西不能在这里使用？fold是什么？恐怕它不在房间里。请提供一个包含正确导入和定义的完整示例。@Sibi如下所述，YMMV在大多数情况下，折叠通常不足以很好地工作，但通常需要防止自身展开，而不是重新折叠。在Coq中控制缩减有点复杂，您可以使用siml标志（请参阅手册）或部署其他自定义解决方案，如mathcomp的nosimpl。@gallais谢谢，我现在已经使其独立@谢谢你的宝贵意见。