证明Coq中的iota增加

我被困在一个目标上

假设我们有以下定义：

Fixpoint iota (n : nat) : list nat :=
  match n with
    | 0   => []
    | S k => iota k ++ [k]
  end.

我们想证明：

定理t1:forall n，In n（iota n）->False。

到目前为止，我已设法做到以下几点：

Theorem t1 : forall n, In n (iota n) -> False.
Proof.
  intros.
  induction n.
    - cbn in H. contradiction.
    - cbn in H. apply app_split in H.
      Focus 2. unfold not. intros.
      unfold In in H0. destruct H0. assert (~(n = S n)) by now apply s_inj.
      contradiction.
      apply H0.
      apply IHn.

我使用了这两个引理，省略了证明：

Axiom app_split : forall A x (l l2 : list A), In x (l ++ l2) -> not (In x l2) -> In x l.
Axiom s_inj     : forall n, ~(n = S n).

---

然而，我完全被卡住了，我需要以某种方式证明：

In（iota n）

假设

In（S n）（iota n）

正如你所观察到的那样，

n
In
In
In
In
In
In
In
In
In
与
In
In
在你的陈述中是同步的，这使得归纳假设很难被调用（如果不是完全无用的话）

这里的诀窍是证明一个比你实际感兴趣的更一般的陈述，它打破了两个
n
s之间的依赖关系。我建议：

Theorem t : forall n k, n <= k -> In k (iota n) -> False.

如果你想偷看一下
t
的证明，你可以
有趣的是——当某些东西无法用当前公式证明时，人们如何获得直觉——是某些假设还是归纳假设会直接（或间接）被证明与结论相矛盾？或者是否存在“不够充分/足够强”的归纳假设的概念？人们如何判断？（一旦你给我看，这是显而易见的，但我自己弄清楚了…）主要是经验。但是，每当两件事情步调一致，或者一个值固定为常数，并且阻止你使用归纳假设时，这是一种强烈的气味，你可能需要寻找一个更一般的陈述。设置一些练习，在其中你必须概括归纳假设，使其发挥作用。你可能需要非常感谢！基本上我需要“git gud”：。
Corollary t1 : forall n, In n (iota n) -> False.
intro n; apply (t n n); reflexivity.
Qed.