Coq 类型参数和索引之间的差异？

我不熟悉依赖类型，对两者之间的区别感到困惑。人们似乎通常说一个类型由另一个类型参数化，并由某个值索引。但是，在依赖类型的语言中，类型和术语之间难道没有区别吗？参数和指数之间的区别是基本的吗？你能给我举个例子，说明它们在编程和定理证明中的含义不同吗？

下面是一个由某个值参数化的类型的例子：

open import Data.Nat

infixr 4 _∷_

data ≤List (n : ℕ) : Set where
  []  : ≤List n
  _∷_ : {m : ℕ} -> m ≤ n -> ≤List n -> ≤List n

1≤3 : 1 ≤ 3
1≤3 = s≤s z≤n

3≤3 : 3 ≤ 3
3≤3 = s≤s (s≤s (s≤s z≤n))

example : ≤List 3
example = 3≤3 ∷ 1≤3 ∷ []

这是一种列表类型，每个元素都小于或等于

n

。一般的直觉是：如果某个属性适用于某个类型的每个居民，那么您可以将其抽象为参数。还有一条机械规则：“如果每个构造函数在第一个索引位置（在结果类型中）具有相同的变量，则第一个索引可以转换为新参数。” 这句话来自*，你应该读一读

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当您看到一系列类型时，您可能会想知道它的每个参数是参数还是索引

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参数仅表示类型在某种程度上是泛型的，其行为与提供的参数有关

例如，这意味着类型

列表T

将具有相同的形状，无论您考虑哪个

T

：

nil

，

cons t0 nil

，

cons t1（cons t2 nil）

，等等。

T

的选择仅影响可以为

t0

，

t1

插入的值，

t2

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指数另一方面，可能会影响您在类型中找到的居民！这就是为什么我们说它们索引一个类型族，也就是说，每个索引都告诉您正在查看哪一个类型（在类型族中）（从这个意义上说，一个参数是退化情况，其中所有索引都指向同一组“形状”）

例如，类型族

Fin n

或有限大小集

n

包含非常不同的结构，具体取决于您选择的

n

索引

0

索引一个空集。 索引

1

用一个元素对集合进行索引

从这个意义上讲，了解指数的价值可能会带来重要的信息！通常，通过查看索引，可以了解哪些构造函数可能被使用，哪些构造函数可能没有被使用。这就是依赖类型语言中的模式匹配如何消除不可行的模式，并从模式触发中提取信息

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这就是为什么在定义归纳族时，通常可以为整个类型定义参数，但必须为每个构造函数指定索引（因为允许为每个构造函数指定其所在的索引）

例如，我可以定义：

F (T : Type) : ℕ → Type
C1 : F T 0
C2 : F T 1
C3 : F T 0

这里，

T

是一个参数，而

0

和

1

是索引。当您收到类型为

ftn

的

x

时，查看

T

将不会显示有关

x

的任何信息。但是看看

n

会告诉你：

• 当

  n

  为

  0

• 当

  n

  为

  1

• 该

  x

  必须是由矛盾伪造的，否则

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类似地，如果您收到类型为

ft0

的

y

，您知道您只需要对

C1

和

C3

进行相关排序的模式匹配：将参数声明为参数（例如冒号左侧）而不是索引，除了可读性之外，还有什么好处吗？类型检查器能否始终恢复以下信息：哪一个索引是参数？啊，这里也处理了这一点：@SebastianGraf是的，将参数放在左侧会影响Coq生成的消除器的形状，以及依赖模式匹配的类型检查。“最好”将参数放在左边，因为它向Coq表明，在选择这些参数时，类型是“统一”的，这简化了以后的工作。这个定义呢

inclusive OnlyBool:Set->Type:=C:OnlyBool bool.

是否已参数化或索引？@user3584499这显然是一个索引，因为您可以在

C

构造函数中选择其值。