Coq 证明道具中的两个居民不相等？

是否可能有一些

A，B:Prop

，以便我们能够提供以下证明：

Section QUESTION.
A: Prop := <whatever you want> .
B : Prop := <whatever you want> .
Theorem ANeqB: A <> B.
Proof.
<a proof of this fact>
Qed.

部分问题。
A:道具：=。
B:道具：=。
定理ANeqB:ab。
证明。
Qed。

直觉上，我认为不是，因为这会让我们“区分”证据，但如果不计算

A

或

B

，就不可能做到这一点。然而，Coq明确禁止我们检查证明，因为它们必须在运行时擦除。因此，只有

Prop

应该能够检查

Prop

（由于擦除），但检查始终是计算性的，因此

Prop

无法检查

Prop

。因此，没有任何东西可以检验

Prop

，上述定理

ANeqB

无法证明

• 如果我上面的解释不正确，你能解释一下原因吗
• 如果定理ANeqB不能被证明，你能给我一个证明这个事实的证据吗
• 如果定理

  ANeqB

  可以被证明，你能告诉我我的直觉哪里失败了吗

编辑：

我突然想到，既然我们可以把证明无关性作为一个额外的公理（

公理证明无关性：forall（p:Prop）（p1p2:p），p1=p2.

），那么定理

ANeqB

就不能在Coq中得到证明——如果可以的话，允许

证明无关性作为一个额外的公理就不合理了

这转移了我的问题，然后：


是否有可能为一些居民
A
和
B
证明
ANeqB
？（
proof\u unrelevance
更强：它表明我们无法证明
A B
[实际上，对于所有
A，B
，我们能证明
A=B
]的陈述越有力。）
如果没有，有人能提供一个证据，证明在Coq基于公理的系统中，
ANeqB
不能被证明吗
我想你可能在想别的事情<代码>道具

本身并非证明无关。它肯定有可区分的元素。例如，

True-False

Section QUESTION.
Definition A: Prop := True.
Definition B : Prop := False.

Theorem ANeqB: A <> B.
Proof.
  unfold A, B.
  intro p.
  destruct p.
  exact I.
Qed.

End QUESTION.

---

p

和

q

本身不是

Prop

的元素，而是

Prop

的某些元素的元素。谢谢，这完美地回答了这个问题！我发布了另一个问题，如果您感兴趣，您可能会对此有所了解：

Axiom proof_irrelevance: forall (P: Prop) (p q: P), p = q.