C++ 动态规划：计算中间的数字

给定两个数字

X

和

Y

，它们之间有多少个数字至少有一半的数字相同？例如，

1122

和

4444

将起作用，而

11234

和

112233

将不起作用

显然，最简单的方法是从

X

开始，一直递增1到

Y

，然后检查每个数字，但这太慢了，因为

X

和

Y

的边界介于

100

和

10^18

之间。我知道这是动态规划的一种形式，我应该用字符串来表示数字，但我不能再进一步了

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任何帮助都可以接受。谢谢

显然，考虑范围内的所有数字并不能做到这一点。相反，从生成所需数字的角度考虑。例如，设计一个函数，该函数将生成所有符合条件的数字，给定的长度不超过以数字为单位的长度

例如，对于5位数字，您希望所有数字至少有三个1或三个2，或者。。。你能一次完成吗，或者你需要把三个1和更多的分开吗

现在你已经考虑过了，想想这个：与其生成所有这些数字，不如数一数。例如，对于三个1和两个其他数字，您有9*9对其他数字（请确保不要重复计算11122之类的数字）。你可以用10种方式排列1，另外两个数字可以互换

请注意，偶数数字的问题有点不同：必须避免对半和对半数字重复计数，例如111222

这能让你动起来吗

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对12月3日评论的回应

@bobjoe628：这不是一个完整的算法；相反，这是一个让你开始的建议。是的，你有几个组合问题要处理。至于11122233，我不确定我是否理解您的担忧：与任何此类排列问题一样，您必须处理每个数字与其兄弟姐妹之间的可互换性。有10C5种分配1的方式；在剩余的点中，有5C3种方式分配2；其他两个插槽为3'3。现成的算法（即浏览器搜索）将涵盖这些阴谋

我相信您可以编写一个生成数字的算法：请注意，您只需要一个数字组合，因此按升序生成数字是安全的，正如您所给出的示例：111112233。一旦您生成了这些数字，您的组合代码应该覆盖这些数字的所有唯一排列

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最后，请注意，大多数语言都有支持包，可以为您执行排列和组合。

我将在以下几个步骤中向您解释：

第一步：

为了解决

X

和

Y

之间的这类范围问题，总是通过在

0到X

和

0到Y-1

之间进行计数，然后减去结果来简化。i、 e.如果您有一个类似于

f（N）

的函数，该函数计算的数字中至少有一半的位数在0和N之间相同，那么您的最终结果是：

f(X) - f(Y-1)

第二步：

接下来我们要计算f（N）。我们将此函数分为两个子函数，一个子函数用于计算与N位数相同的数字的结果（我们称之为f_等于），另一个子函数用于计算小于N位数的合格数字（我们称之为f_小于）。例如，如果N是19354，我们计算0到9999之间的限定数字，然后在另一种方法中计算10000到19354之间的最喜欢的数字，然后我们总结结果。接下来，我将解释如何实现这两种方法

第三步：

这里，我们要计算无f_的方法。你可以通过一些数学来做，但我总是喜欢写一个简单的DP来解决这些任务。我将编写递归函数，不管您是使用memonization还是使用一些循环自下而上（我将留给您作为练习）

long-long f_-less（int curDigit，int favNum，int favNumCountSoFar，int nonavnum，int nonavnumcountsofar，int maxDigit）{
if（curDigit==maxDigit）{
//对于具有偶数maxDigit的数字，可能有两个最喜欢的数字
//我们应该只数一次，比如522552
if（favNumCountSoFar*2==maxDigit&&favNumCountSoFar==nonavnumcountsofar）返回1；
如果（2*favNumCountSoFar>=maxDigit）返回2；
返回0；
}
长res=0；
对于（inti=（curDigit==0？1:0）；这里是一个部分组合答案。我省略了如何使用函数构造完整答案

（请参见此处，以获取具有更详细注释的相同代码：）

固定最左边的数字，
L
，在
R
数字位于
L
右侧的数字中，我们可以通过以下方式计算分配
（N/2）
或更多数字
d
的方式：

Python代码

导入数学、运算符、集合
#假设L至少有一个数字集
#f（{'string'：'12'，'digital_frequencies'：[0,1,0,0,0,0,0]，'num_digital_frequencies'：2}，6）
def f（左，右）：
R=N-len（L['string']）
计数=0
计数=假
对于L[‘数字频率’]中的数字频率：
开始=整数（数学单元（N/2.0））-数字频率
如果开始>R：
持续
对于X范围内的i（开始，R+1）：
如果不是（N&1）且未计算在内：
如果L['num_digital_frequencies']=1而不是digital_frequency，且i==N/2：
计数=计数-选择（R，i）
如果L['num_digit_frequencies']=2和digit_frequency而不是任何（[x>N/2表示L['digit_frequencies']]中的x）和i+digit_frequency==N/2：
计数=计数-选择（R，i）
计数=Tr
long long f_less(int curDigit, int favNum, int favNumCountSoFar, int nonFavNum, int nonFavNumCountSoFar, int maxDigit){
    if(curDigit == maxDigit ){
        //for numbers with even maxDigit there may be a case when we have 2 favorite numbers
        //and we should count them only once. like 522552
        if(favNumCountSoFar*2 == maxDigit && favNumCountSoFar == nonFavNumCountSoFar) return 1;
        if(2*favNumCountSoFar >= maxDigit) return 2;
        return 0;
    }
    long long res = 0;
    for(int i=(curDigit==0?1:0);i<=9;++i) //skip the leading zero
        if(i==favNum)
            res += f_less(curDigit+1, favNum, favNumCountSoFar + 1, nonFavNum, nonFavNumCountSoFar,maxDigit);
        else
            res += f_less(curDigit+1, favNum, favNumCountSoFar, i, (i==nonFavNum?nonFavNumCountSoFar+1:1),maxDigit);
    return res;
}

long long res = 0;
for(int maxDigit = 1; maxDigit < NUMBER_OF_DIGITS(N); ++maxDigit)
    for(int favNumber = 0; favNumber < 10; ++favNumber)
        res += f_less(0, favNumber, 0, -1, 0, maxDigit);

string s = NUM_TO_STRING(N);
int maxDigit = s.size();
long long f_equal(int curDigit, int favNum, int favNumCountSoFar,int nonFavNum, int nonFavNumCountSoFar, bool isEqual){ //isEqual checks that whether our number is equal to N or it's lesser than it 
    if(curDigit == maxDigit ){
        //for numbers with even maxDigit there may be a case when we have 2 favorite numbers
        //and we should count them only once. like 522552
        if(favNumCountSoFar*2 == maxDigit && favNumCountSoFar == nonFavNumCountSoFar) return 1;
        if(2*favNumCountSoFar >= maxDigit) return 2;
        return 0;
    }
    long long res = 0;
    for(int i=(curDigit==0?1:0);i<=9;++i){ //skip the leading zero
        if(isEqual && i>(s[curDigit]-'0')) break;
        if(i==favNum)
            res += f_equal(curDigit+1, favNum, favNumCountSoFar + 1, nonFavNum, nonFavNumCountSoFar, isEqual && (i==(s[curDigit]-'0')));
        else
            res += f_equal(curDigit+1, favNum, favNumCountSoFar, i, (i==nonFavNum?nonFavNumCountSoFar+1:1), isEqual && (i==(s[curDigit]-'0')));
    } 
    return res;
}

long long res = 0;
for(int favNumber = 0; favNumber < 10; ++favNumber)
    res += f_equal(0, favNumber,0, -1, 0, true);

float getCount(int x, int y) {
    if(x == y) return 0.0; // Special case (no numbers are between x and y)
    return INFINITY;       // The closest value to the correct answer that a computer can use
}