C++ 如何快速准确地获得特征值和特征向量？

我需要计算一个大矩阵的特征值和特征向量（大约1000*1000甚至更多）。Matlab工作速度非常快，但不能保证准确性。我需要这是相当准确的（大约1e-06的错误是可以的），并在一个合理的时间内（一个或两个小时是可以的）

我的矩阵是对称的，非常稀疏。精确值为：对角线上的值，主对角线下方的对角线上的值，以及主对角线上方的对角线上的值。例如：

---

我该怎么做？C++对我来说是最方便的。

如果你不反对使用第三方库，我已经使用线性代数库取得了很大的成功。

对于下面的示例，

arma

是他们喜欢使用的名称空间，

vec

是向量，

mat

是矩阵

arma::vec getEigenValues(arma::mat M) {
    return arma::eig_sym(M);
}

您还可以将数据直接序列化到

MATLAB

中，反之亦然

MATLAB不能保证精度

我觉得这种说法不合理。你凭什么说你能找到一个（明显）比MATLAB高度精确的计算算法更精确的实现

而且。。。使用MATLAB，在不到半秒钟的时间内计算以下内容：

%// Generate the input matrix
X = ones(1000);
A = triu(X, -1) + tril(X, 1) - X;

%// Compute eigenvalues
v = eig(A);

很快，好吧

我需要非常准确（关于1e-06的错误是可以的）

请记住，准确求解特征值与找到特征多项式的根有关。这个特定的1000x1000矩阵非常：

对于10k的条件数，您可能会损失高达k位的精度（由于算术方法的精度损失，数值方法可能会损失的精度除外）

因此，在您的情况下，我希望结果准确到大约10-3的误差。

您的系统是和a（对称的）。我猜eigen和Matlab的

eig

有处理此类矩阵的特殊情况。在这种情况下，有一个错误（）。在矩阵的Matlab中，这是简单的：

n = size(A,1);
k = (1:n).';
v = 1-2*cos(pi*k./(n+1));

这可以通过注意特征值以

1

为中心进行进一步优化，因此只需计算其中的一半：

n = size(A,1);
if mod(n,2) == 0
    k = (1:n/2).';
    u = 2*cos(pi*k./(n+1));
    v = 1+[u;-u];
else
    k = (1:(n-1)/2).';
    u = 2*cos(pi*k./(n+1));
    v = 1+[u;0;-u];
end

---

我不知道如何用简单的代码比这更快更准确（除了使用特征向量和优化执行细化步骤）。上面应该能够很容易地翻译成C++（或者使用MATLAB生成使用这个或<代码> EG<<代码>的C/C++代码）。但是，您的矩阵仍然是病态的。请记住，准确度估计是最糟糕的情况。

这与其说是编程问题，不如说是数学问题。看一看：看看犰狳或艾根，然后使用最适合您需要的产品。Seigen太慢了（或者可能它有我不知道的配置选项？）。这是一个编程问题，因为我不想自己写，我想用一些现成的东西。这是如何回答这个问题的？OP想计算C++中的特征值，你告诉他MATLAB是精确的。@ TylerJandreau问题是关于精确计算特征值，并且我推断，如果MATLAB足够精确，就足够了。对于这种类型的矩阵，似乎不可能以要求的精度计算特征值，因此没有理由不满意MATLAB的答案。你为什么否决我的答案？谢谢！但是为什么[V，D]=eig（A）和D=eig（A）给出不同的特征值作为答案，我应该使用哪一个？另外，我认为数值方法的精度损失可能很大，我可以设置吗？Matlab没有说明答案的准确度，因此我不能真正相信它。@EllaShar如答案中所述，您可以使用。我怀疑你能找到一个明显优于MATLAB的数值算法。最准确的方法可能是通过解析的方法来解决这个问题，但它并不总是可行的。这帮了大忙！你知道这种差异的原因是什么吗？你能帮我试一下吗？我试着使用eigen，但速度太慢了。谢谢直接使用arma:：eig_sym（）而不是封装到函数中会更快。简单使用

vec v=eig_sym（M）。Armadillo也有功能，例如使用“分治”算法，这对于大型矩阵要快得多。谢谢，但我不想免费下载Armadillo，它应该比eigen库更快吗？如果您可以运行它并进行检查，这将是最好的。“dc”算法的缺点是什么？有多不准确？在eigen中是否有类似的东西（我已经有了）？再次感谢@霍奇勒很好的分析答案，+1。然而，在表达式
v=1-2*cos（pi*k./（n+1））
中不应该有加号而不是减号吗？（根据文章）@EitanT:PDF文章和维基百科使用不同的符号。我猜这是惯例，因为它只是改变了特征值的顺序（
cos
是一个偶数函数），这只在需要特征向量时才起作用。哇，这真是太棒了！我想知道为什么eigen不这么做（我想是因为它太慢了）。PDF也有特征向量的分析公式。@EllaShar虽然我绝对不会因为不接受我的答案而感到难过，但我真的看不出
eig（a）
和显式计算之间有什么实际区别。虽然
eig（A）
没有闪电般的快（但仍然相当快），但它能够产生相同的结果（并且可能使用相同的优化），这是更容易理解的方法。也许我在这里遗漏了什么，但既然你已经用内置函数为你完成了，为什么还要重新实现它呢？@EllaShar：我对eigen一无所知，但速度慢可能与它没有根据最快的数学和线性代数库编译，内存分配不当，或者你做错了什么事（你得做点什么）
n = size(A,1);
if mod(n,2) == 0
    k = (1:n/2).';
    u = 2*cos(pi*k./(n+1));
    v = 1+[u;-u];
else
    k = (1:(n-1)/2).';
    u = 2*cos(pi*k./(n+1));
    v = 1+[u;0;-u];
end