C++ 二叉树中的递归函数解释

我正在学习二叉树教程。
我对递归函数的使用有点拘泥。例如，我需要计算树中的节点数

int countNodes( TreeNode *root )    
{   
       // Count the nodes in the binary tree to which  
       // root points, and return the answer.  
    if ( root == NULL )  
       return 0;  // The tree is empty.  It contains no nodes.  
    else
   {  
       int count = 1;   // Start by counting the root.  
       count += countNodes(root->left);  // Add the number of nodes   
                                        //     in the left subtree.   
       count += countNodes(root->right); // Add the number of nodes   
                                        //    in the right subtree.  
       return count;  // Return the total.  
    }  
 }   // end countNodes()

现在我的疑问是->它如何计数，说根->左->右的左？或者根->右->左->左？？ 谢谢

更新： 关键是数据结构和程序都是递归的

• 对于数据结构，这意味着：子树也是树
• 对于代码，它意味着：计算树：=计算子树（并添加一个）

---

说你调用了

countNodes（myTree）。假设
myTree
不为空，
countNodes
最终将执行
count+=countNodes（root->left）
，其中
root
是
myTree
。它重新进入
countNodes
函数，整个树的根位于
root->left
（即
myTree->left
）。然后逻辑会重复；如果没有
root->left
，则函数返回0。否则，它最终将调用
count+=countNodes（root->left）再次出现，但这次
根目录实际上是
myTree->left
。这样它将计数
myTree->left->left
。稍后，它会对正确的节点执行相同的操作。
每个子树都有自己的根，就像实际的树有根一样。计数与每个子树的计数相同。因此，您只需继续运行，直到到达叶节点并停止局部递归，在运行过程中返回并累加节点。
这就是递归算法的美妙之处。该函数是在当前节点及其子节点上定义的。只要对左、右子级的递归调用正确，您就只需要确信当前调用是正确的。同样的道理也适用于孩子和他们的孩子，等等。。。这一切都会正常工作。
它将从根->左->（子节点->左）等开始，直到该分支返回0，例如，如果它不是实际节点（树中的一个叶）

然后最深的节点将检查root->right并重复相同的过程。试着用一棵小树想象一下：


因此，在本例中，您的函数将转到A->D->B，然后正确的节点都将返回0，您将从C节点得到最后一个+1。
递归基本上就是这样做的，每次调用countNodes时，它都会在到达子节点时添加1（
int count=1；
）并在尝试转到叶节点的下一个子节点时终止（因为叶节点没有子节点）。每个节点递归地为其左右子节点调用countNodes，计数缓慢增加并冒泡到顶部

试着这样看，每个节点加1，递归停止的不存在节点加0：

          1
        /   \
       1     1
      / \   / \
     1   0 0   0
    / \
   0   0

每个1加起来，节点的父节点（每个递归级别的调用函数）加上1+left\u size+right\u size并返回结果。因此，每个阶段返回的值为：

          4
        /   \
       2     1
      / \   / \
     1   0 0   0
    / \
   0   0

我不确定这是否能让它更清晰，但我希望它能做到。
您编写的算法实现是详尽的。它参观了整棵树

如果树为空，则计数为零。
如果不是，我们得到左边的节点，我们称它为L，我们在计数上加1

由于证明了树的子树本身就是一棵树，我们在以L为根的树上再次执行相同的算法

现在我们对根节点为root的树执行此操作

现在。。。这确实有效

树的子树是树，也用于空节点或单个节点。
你应该看看树的定义

你可以用数学归纳法证明，并用归纳推理来表述你的问题。
递归算法通常使用非常类似于归纳推理的结构。
对于递归函数，您应该递归地思考！下面是我对这个函数的看法：


我开始写函数的签名，也就是

int countNodes( TreeNode *root ) 


首先，不是递归的情况。例如，如果给定的树为
NULL
，则没有节点，因此我返回0

然后，我观察到树中的节点数是左子树的节点数加上右子树的节点数加上1（根节点）。因此，我基本上为左节点和右节点调用函数，并将值相加1。

请注意，我假设函数已经正常工作了


我为什么要这样做？很简单，这个函数应该在任何二叉树上工作，对吗？嗯，根节点的左子树，实际上是一棵二叉树！右边的子树也是一棵二叉树。因此，我可以安全地假设，使用相同的
countNodes
函数，我可以计算这些树的节点。一旦我有了它们，我只要加上左+右+1，我就得到了结果

递归函数究竟是如何工作的？你可以用笔和纸来遵循算法，但简而言之，它是这样的：

假设您使用以下树调用函数：

  a
 / \
b   c
   / \
  d   e

您可以看到根不为null，因此可以调用左子树的函数：

b

NULL

NULL

然后是右子树

   c
  / \
 d   e

d

e

在调用右子树之前，需要对左子树进行求值

因此，您正在使用输入调用函数：

b

您可以看到根不是空的，因此可以调用左子树的函数：

b

NULL

NULL

返回0和右子树：

b

NULL

NULL

它也返回0。计算树的节点数，它是0+0+1=1

现在，原始树的左子树得到1，它是

b

函数被调用

   c
  / \
 d   e

在这里，再次调用左子树的函数

   c
  / \
 d   e

d

e

这与
b
的情况类似，返回1，然后返回右子树

   c
  / \
 d   e

d

e

这也是r