C++ 双舍入错误，即使使用DBL_DIG

我正在尝试使用步骤0.3生成一个介于-10和10之间的随机数，尽管我希望这些值是任意值，并且在双精度浮点精度方面存在问题。Float.h的DBL_DIG是指不会出现舍入误差的最小精度[编辑：这是错误的，有关DBL_DIG的真实定义，请参阅Eric Postdischil的评论]，但是当打印到这么多数字时，我仍然会看到舍入误差

#include <stdio.h>
#include <float.h>
#include <stdlib.h>

int main()
{
  for (;;)
  {
    printf("%.*g\n", DBL_DIG, -10 + (rand() % (unsigned long)(20 / 0.3)) * 0.3);
  }
}

---

当然，一个简单的解决方案是只定义DBL_DIG 14，但我觉得这是在浪费准确性。为什么会发生这种情况？我如何防止这种情况发生？这不是重复的，因为我问的是DBL_DIG，以及如何找到不发生错误的最小精度。

对于问题中的特定代码，我们可以通过使用整数值直到最后一刻来避免过度舍入错误：

printf("%.*g\n", DBL_DIG,
    (-100 + rand() % (unsigned long)(20 / 0.3) * 3.) / 10.);

这是通过将原始表达式中的每个项乘以10得到的−10因为−100和.3变成3，然后将整个表达式除以10。所以我们在numerator1中关心的所有值都是整数，浮点表示的是精确到其精度范围内的整数

// reduce the _bit_ output precision by about the root of steps
#define LOG10_2 0.30102999566398119521373889472449
int digits_less = lround(sqrt(20 / 0.3) * LOG10_2);
for (int i = 0; i < 100; i++) {
  printf("%.*e\n", DBL_DIG - digits_less,
      -10 + (rand() % (unsigned long) (20 / 0.3)) * 0.3);
}

9.5000000000000e+00
-3.7000000000000e+00
8.6000000000000e+00
5.9000000000000e+00
...
-1.0000000000000e-01
8.0000000000000e-01

由于整数值将被精确计算，因此在最后除以10时只会有一个舍入误差，结果将是最接近所需值的两倍

在大多数情况下，为了避免舍入错误，我应该打印多少位？不仅仅是我上面的例子

仅仅使用更多的数字并不能解决一般情况。在大多数情况下，避免错误的一种方法是非常详细地学习浮点格式和算术，然后深思熟虑地、一丝不苟地编写代码。这种方法通常是好的，但并不总是成功的，因为它通常是由人类实施的，尽管做出了所有相反的努力，但人类仍会继续犯错误

脚注

---

1考虑到无符号long20/0.3是一个较长的讨论，涉及到对其他值和情况的意图和概括。

对于问题中的特定代码，我们可以通过使用整数值直到最后一刻来避免过度舍入错误：

printf("%.*g\n", DBL_DIG,
    (-100 + rand() % (unsigned long)(20 / 0.3) * 3.) / 10.);

这是通过将原始表达式中的每个项乘以10得到的−10因为−100和.3变成3，然后将整个表达式除以10。所以我们在numerator1中关心的所有值都是整数，浮点表示的是精确到其精度范围内的整数

// reduce the _bit_ output precision by about the root of steps
#define LOG10_2 0.30102999566398119521373889472449
int digits_less = lround(sqrt(20 / 0.3) * LOG10_2);
for (int i = 0; i < 100; i++) {
  printf("%.*e\n", DBL_DIG - digits_less,
      -10 + (rand() % (unsigned long) (20 / 0.3)) * 0.3);
}

9.5000000000000e+00
-3.7000000000000e+00
8.6000000000000e+00
5.9000000000000e+00
...
-1.0000000000000e-01
8.0000000000000e-01

由于整数值将被精确计算，因此在最后除以10时只会有一个舍入误差，结果将是最接近所需值的两倍

在大多数情况下，为了避免舍入错误，我应该打印多少位？不仅仅是我上面的例子

仅仅使用更多的数字并不能解决一般情况。在大多数情况下，避免错误的一种方法是非常详细地学习浮点格式和算术，然后深思熟虑地、一丝不苟地编写代码。这种方法通常是好的，但并不总是成功的，因为它通常是由人类实施的，尽管做出了所有相反的努力，但人类仍会继续犯错误

脚注 1考虑到无符号long20/0.3是一个较长的讨论，涉及到其他值和情况的意图和泛化

使用步骤0.3生成一个介于-10和10之间的随机数 我希望该程序能够处理任意的边界值和步长。 为什么会这样

问题的根源在于假设字符串0.3这样的典型实数可以精确地编码为双精度

一个double可以精确地编码大约264个不同的值。0.3不是其中之一

而是使用最接近的双精度。 精确值和2个最近值如下所示：

0.29999999999999993338661852249060757458209991455078125
0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875  (best 0.3)
0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125

所以OP的代码正在尝试-10和10，步骤0.2999。。。打印出-0.099999999996和0.79999999999999比-0.1和0.8更准确

。。。。如何防止这种情况发生

以更有限的精度打印

// reduce the _bit_ output precision by about the root of steps
#define LOG10_2 0.30102999566398119521373889472449
int digits_less = lround(sqrt(20 / 0.3) * LOG10_2);
for (int i = 0; i < 100; i++) {
  printf("%.*e\n", DBL_DIG - digits_less,
      -10 + (rand() % (unsigned long) (20 / 0.3)) * 0.3);
}

9.5000000000000e+00
-3.7000000000000e+00
8.6000000000000e+00
5.9000000000000e+00
...
-1.0000000000000e-01
8.0000000000000e-01

OP的代码实际上并不是在做步骤，因为这暗示了一个步骤为0.3的循环。以上数字_-less基于重复步骤，否则OP的方程保证减少约1位小数。精度的最佳降低取决于从0.3转换->双0.3 1/2位、除法1/2位、乘法1/2位和加法更复杂位估算所有计算的潜在累积误差

等待可能支持十进制浮点的下一版本C。 使用步骤0.3生成一个介于-10和10之间的随机数 我希望该程序能够处理任意的边界值和步长。 为什么会这样

问题的根源在于假设字符串0.3这样的典型实数可以精确地编码为双精度

一个double可以精确地编码大约264个不同的值。0.3不是其中之一

反而 使用最接近的双精度。 精确值和2个最近值如下所示：

0.29999999999999993338661852249060757458209991455078125
0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875  (best 0.3)
0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125

所以OP的代码正在尝试-10和10，步骤0.2999。。。打印出-0.099999999996和0.79999999999999比-0.1和0.8更准确

。。。。如何防止这种情况发生

以更有限的精度打印

// reduce the _bit_ output precision by about the root of steps
#define LOG10_2 0.30102999566398119521373889472449
int digits_less = lround(sqrt(20 / 0.3) * LOG10_2);
for (int i = 0; i < 100; i++) {
  printf("%.*e\n", DBL_DIG - digits_less,
      -10 + (rand() % (unsigned long) (20 / 0.3)) * 0.3);
}

9.5000000000000e+00
-3.7000000000000e+00
8.6000000000000e+00
5.9000000000000e+00
...
-1.0000000000000e-01
8.0000000000000e-01

OP的代码实际上并不是在做步骤，因为这暗示了一个步骤为0.3的循环。以上数字_-less基于重复步骤，否则OP的方程保证减少约1位小数。精度的最佳降低取决于从0.3转换->双0.3 1/2位、除法1/2位、乘法1/2位和加法更复杂位估算所有计算的潜在累积误差

等待可能支持十进制浮点的下一版本C。

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这种说法是错误的：“Float.h的DBL_DIG是指没有舍入误差的最小精度……”@churill：这不是对这个问题的正确回答。请不要随意将浮点问题标记为该问题的副本。DBL_DIG的定义是小数位数的最大值，它保证将一个具有如此多有效小数位数的数字转换为两位数，再转换回一个具有如此多位数的小数位数，即可生成原始数字。结果是，对于更多的数字，往返转换可能会改变数字。此保证仅适用于“往返”的两次转换。它不能保证当您执行其他算术运算时，您将获得与十进制算术相同的结果。您的程序还有几个其他操作。@StavromulaBeta不可判定。对于每个操作，错误都会累积。例如，如果将循环中的0.0000001添加到一个更大的值上一百万次，它将不同于添加0.0000001*1000000。此语句为false：“Float.h的DBL_DIG是指不发生舍入错误的最小精度…”@丘里尔：这不是这个问题的正确答案。请不要随意将浮点问题标记为该问题的副本。DBL_DIG的定义是小数位数的最大值，它保证将一个具有如此多有效小数位数的数字转换为两位数，再转换回一个具有如此多位数的小数位数，即可生成原始数字。结果是，对于更多的数字，往返转换可能会改变数字。此保证仅适用于“往返”的两次转换。它不能保证当您执行其他算术运算时，您将获得与十进制算术相同的结果。您的程序还有几个其他操作。@StavromulaBeta不可判定。对于每个操作，错误都会累积。例如，如果将循环中的0.0000001添加到一个更大的值上一百万次，这将不同于添加0.0000001*1000000。这在这种情况下非常有效，但我希望程序能够处理边界和步长的任意值。这在这种情况下非常有效，但是我希望程序能够处理任意的边界值和步长。这是一个很好的答案。累积舍入误差的解释非常有用，我在以后编写代码时一定会记住它。这是一个很好的答案。对累积舍入误差的解释非常有用，将来编写代码时我一定会记住它。