C++ GNU MP Bignum库的数值问题

我在做一些数字运算，这需要高精度的算术运算。我正在使用GNU MP库，并且：

浮点数，简称浮点数，是具有有限精度指数的任意精度尾数

虽然尾数应该具有任意精度，但我仍然遇到精度问题。这里有一个几乎最小的工作示例来说明我的问题，而不是让您对我的实际代码感到厌烦。代码计算9.3^15、9.8^15和（9.3*9.8）^15。在我的机器上，（9.3^15）*（9.8^15）和（9.3*9.8）^15的值开始从第16位开始不同，在这种情况下，会导致（大约）4.94*10^13的错误

任何帮助都将不胜感激。代码如下

#include <gmp.h>
#include <gmpxx.h>

#include <iostream>
#include <iomanip>

int main()
{
    mpf_class x, y, z;
    x = y = z = 1.0;

    for (int i = 0; i < 15; i++)
    {
        x *= 9.3;
        y *= 9.8;
        z *= 9.3*9.8;
    }

    std::cout << z - x*y << std::endl;

    return 0;
}

#包括
#包括
#包括
#包括
int main（）
{
强积金(x,y,z级);；
x=y=z=1.0；
对于（int i=0；i<15；i++）
{
x*=9.3；
y*=9.8；
z*=9.3*9.8；
}
std：：cout您看到的问题是由于9.3*9.8的计算结果约为。请将文本更改为mpf_类的实例：

mpf_class a, b;
a = 9.3;
b = 9.8;

// ...

x *= a;
y *= b;
z *= a * b;

如果您需要<强>无限>强>精度，请考虑使用<强>有理数< /强>代替：
#include <gmp.h>
#include <gmpxx.h>

#include <iostream>
#include <iomanip>

int main()
{
    mpq_class x(1), y(1), z(1), a(93, 10), b(98, 10);

    for (int i = 0; i < 15; i++)
    {
        x *= a;
        y *= b;
        z *= (a * b);
    }

    std::cout << z - x*y << std::endl << z << std::endl;

    return 0;
}

问题是你没有明确设置精度，所以你得到默认精度，通常是（我认为）64位，因此，由于不同计算方式的不同舍入，最后一位的结果不同。这使得大约20位成为通用前缀（随着计算的增加，差异可能会变得更大）.如果设置更高的精度

#include <gmp.h>
#include <gmpxx.h>

#include <iostream>
#include <iomanip>

int main()
{
    mpf_class x(1.0,200), y(1.0,200), z(1.0,200), a("9.3",200), b("9.8",200), c(0,200); 
    c = a*b;

    for (int i = 0; i < 15; i++)
    {
        x *= a;
        y *= b;
        z *= c;
    }

    std::cout << z << "\n" << (x*y) << std::endl;
    std::cout << z - x*y << std::endl;

    return 0;
}

因此，一个大约80位十进制数字的公共前缀，或接近256位（64位的最小倍数大于199位）

精度为2000时，字符串构造函数的差值为-2.78942e-588，如果从
double
初始化，则为0（当然，初始精度限制为53位，因此仅意味着两种方式以相同的方式累积错误）.
9.3
和
9.8
不能用二进制精确表示。这似乎只是15的幂次幂，而不是100。你说得对。我用了100的幂次幂，但后来意识到15足以说明我的观点。编辑。@Mystical:谢谢你的评论。老实说，我不明白你为什么这么说，但如果这是有区别的，93和98的问题仍然存在。这些只是整数-当然它们可以精确表示。因为
9.3
和
9.8
不能用
double
表示，当它们被精度扩展到您想要的精度时，它们将保留
+/-10^-16
错误。这就是GMP主要问题。如果它不能处理偶数整数，那么还有一个单独的问题。我怀疑你没有正确使用库，但我没有使用GMP，所以我说不出来。我没有注意到，但我明白你的意思-9.3和9.8是双倍的，而不是
mpf\u类
@Oleg2718281828你的意思是定义：mpf\u类*x=新的mpf\u类；？@Oleg2718281828感谢您的贡献。它确实起到了作用-误差减少到10^9的数量级。但我真的需要它为零。这是因为它仍然使用
9.3
和
9.8
。请记住，它们被视为
double
，因此在转换为
mpf\u类之前，它们会相应地四舍五入e> @mga我想你需要的是有理数而不是浮点。我相信
a=9.3；
仍然需要更改。也许它会接受
a=“9.3”
。尽管我在文档中找不到赋值运算符重载的列表。即使我有
a（9.3200），b（9.8200）
在声明中，输出保持不变。在构造函数中使用字符串实际上更糟糕。嗯……缺少关于GMP精度行为的文档肯定没有帮助。有一件事是可以肯定的，那就是你不能使用浮点文本，除非它们是完全可表示的。啊，糟了，我忘了设置
c
的精度：（仔细想想，这个特定的示例之所以通过，是因为它使用的是相同的（由于
double
舍入而不正确）这两种计算的
9.3
和
9.8
值。如果将结果与不同的库进行比较，它们仍然只有大约16位精度。如果GMP不接受字符串作为参数，则您几乎必须以全精度手动进行10除法。
#include <gmp.h>
#include <gmpxx.h>

#include <iostream>
#include <iomanip>

int main()
{
    mpf_class x(1.0,200), y(1.0,200), z(1.0,200), a("9.3",200), b("9.8",200), c(0,200); 
    c = a*b;

    for (int i = 0; i < 15; i++)
    {
        x *= a;
        y *= b;
        z *= c;
    }

    std::cout << z << "\n" << (x*y) << std::endl;
    std::cout << z - x*y << std::endl;

    return 0;
}

$ ./a.out 
2.48677e+29
2.48677e+29
-4.80637e-49