C++ 如何通过SAT和优化解决顶点覆盖问题？

所以现在我正在使用SAT解决最小顶点覆盖问题，这是我对图G={V，E}的编码，它有k个顶点覆盖，下面是这些子句：

Let n = sizeof(V);

首先，顶点覆盖中至少有一个顶点：

For i in {1..k}
    Add clause (x<1,i> ∨ x<2,i> ∨ ··· ∨ x<n,i>);

For j in {1..n}
    For l and m in {1..k} with l < m
        Add clause (¬x<j,l> ∨ ¬x<j,m>) 

For j in {1..k}
    For l and m in {1..n} with l < m
        Add clause (¬x<l,j> ∨ ¬x<m,j>) 

{1..k}中i的

添加第（x）条∨ x∨ ··· ∨ x） )；

然后，一个顶点不能在顶点覆盖中出现两次：

For i in {1..k}
    Add clause (x<1,i> ∨ x<2,i> ∨ ··· ∨ x<n,i>);

For j in {1..n}
    For l and m in {1..k} with l < m
        Add clause (¬x<j,l> ∨ ¬x<j,m>) 

For j in {1..k}
    For l and m in {1..n} with l < m
        Add clause (¬x<l,j> ∨ ¬x<m,j>) 

{1..n}中j的

对于l

之后，顶点覆盖中的特定位置只能出现一个顶点：

For i in {1..k}
    Add clause (x<1,i> ∨ x<2,i> ∨ ··· ∨ x<n,i>);

For j in {1..n}
    For l and m in {1..k} with l < m
        Add clause (¬x<j,l> ∨ ¬x<j,m>) 

For j in {1..k}
    For l and m in {1..n} with l < m
        Add clause (¬x<l,j> ∨ ¬x<m,j>) 

{1..k}中j的

对于l

最后，顶点覆盖中至少有一个顶点应来自边：

For i and j in each edge e from E
    Add clause (x<i,1> ∨ x<i,2> ∨ ... ∨ x<i,k> ∨ x<j,1> ∨ ... ∨ x<j,k>)

从e开始的每条边e中的i和j的

添加第（x）条∨ x∨ ... ∨ x∨ x∨ ... ∨ 十）

现在我可以通过使用这种编码获得最小顶点覆盖，但是效率非常差。我只能得到<20个顶点的任何图形的结果，否则只需要几分钟和几个小时就可以得到结果。我现在正在考虑将它从SAT进一步降低，也许降低到3SAT。但看起来我不能简单地将all子句从nCNF改为3CNF来获得相同的结果。谁能帮我弄清楚下一步该怎么办？我需要一个全新的编码吗

非常感谢你

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顺便说一句，我使用miniat作为解算器。

首先，让我假设我在理解您的编码时遇到一些困难，所以我将从头开始。这就是我处理这个问题的方法

注意：我的示例基于语法，可以使用类似于MaxSMT的解算器来解决，例如和。但是，由于它不使用任何SMT功能，因此您实际上可以使用在MaxSAT竞赛中使用的功能编写相同的内容。在选择解算器来处理问题时，这将为您提供更多选择。我可能错了，但我推测在这个特定问题上，MaxSAT解算器可能比MaxSMT解算器表现更好

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设G={V，E}是一个图

首先，为图中的每个顶点声明一个布尔变量：

(declare-fun vertex_1 () Bool)
...
(declare-fun vertex_K () Bool)

（任何没有边的顶点都应该忽略，因为这只会浪费时间。）

其次，为图中连接顶点

i

和顶点

j

的每条边声明一个布尔变量（假设为无向）

第三，断言必须覆盖每个边

edge\u i\u j

：

(assert edge_i_j)
...

第四，如果一条边被覆盖，则顶点

i

或顶点

j

必须为

true

：

(assert (=> edge_i_j (or vertex_i vertex_j)))
...

第五，对于每个

vertex\u i

用软子句断言

vertex\u i

应该是

false

。如果情况并非如此，则对

cover

的值处以

1

的罚款：

(assert-soft (not vertex_i) :weight 1 :id cover)

最后，解决问题：

(set-option :config opt.maxsmt_engine=maxres) ; only for optimathsat
(minimize cover)                              ; only for optimathsat
(check-sat)
(get-objectives)
(get-model)

此时，可以使用任何有效的MaxSAT/MaxSMT引擎（例如）获得一个覆盖所有边的模型，同时使用最少数量的顶点（如果有的话）。

我在问题中没有看到任何优化组件，因为它与伪代码一起出现，所以我猜模型的某些部分丢失了。您能否编辑您的问题并包含缺少的部分？如果有任何优化正在进行，优化过程是属于miniat的还是您自己编写的？在后一种情况下，你介意详细说明它是如何工作的吗？