C++ exp（）函数的浮点实现是否等效于截断泰勒级数展开？

cmath中exp（）函数的浮点实现是否相当于非常高阶的截断泰勒级数展开？我们应该记住的一个可能的错误来源是，表示答案的位数是有限的，这取决于所使用的C库实现。在非常流行的glibc中，它不是。它取决于编译器、C运行时和处理器的实现。然而，无论谁计算指数，都不太可能使用泰勒展开，因为存在更好的方法

根据glibc的说法，它可能会使用自己的实现，该实现在注释中说明了这一点（来自sysdeps/ieee754/dbl-64/e_exp.c）：

或者，它可以使用硬件支持的处理器指令进行浮点计算，如x86 FPU。在这两种情况下，您都可能得到一个精确的四舍五入值

cmath中exp（）函数的浮点实现是否相当于非常高阶的截断泰勒级数展开

相当于？对这是因为任何适当的

exp（）

实现都有大约半个ULP（最小精度单位）的错误。忽略有限精度算法的问题，我们总是可以构造一个截断的泰勒级数来做同样的事情

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但是，

exp（）

的任何适当实现都不会使用泰勒展开。这将是非常缓慢的，并且不会达到预期的精度。这将是一个彻头彻尾的愚蠢实现。更好的做法是利用2x和ex之间存在着很强的关系这一事实，并且考虑到浮点数的2表示几乎具有普适幂，2x的计算相当容易。

仅举一个如何计算exp（x）的示例：

如果x相当大，则结果为+inf。如果x相当小，则结果为0

设k=圆形（x/ln2）。然后exp（x）=2^k*exp（x-kln2）。2^k很容易计算。一个小问题是在没有任何舍入误差的情况下计算x-k ln2。这很简单：让L1=ln2四舍五入为35位，L2=ln2-L1。k是一个小整数，因此k*L1没有舍入误差，x-k*L1也没有舍入误差；然后我们减去k*L2，它很小，因此舍入误差很小

为了更快地完成这项工作（无需除法），我们计算k=四舍五入（x*（1/ln2））。我们检查x是否接近零，所以不需要整个计算。无论如何，我们现在计算exp（x），结果在sqrt（1/2）和sqrt（2）之间

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可以使用泰勒多项式计算exp（x）。相反，您可能会使用切比雪夫多项式以更低的次数最小化截止误差。仔细一点，你可以找到一个多项式，它的截止误差大大小于结果的最低位

这是极不可能的。硬件运算单元（以及软件实现）有更好的“实用”算法，收敛速度更快。虽然泰勒级数在理论上是可行的，但在使用英特尔编译器时，级数展开可能会受到严重的精度损失。glibc中使用什么算法来计算exp（）？@Tarek我不知道它到底是什么，一些涉及魔法常数的东西，但为什么不亲自看看呢？@Tarek:我也不知道，但比泰勒展开更好的方法是在有限区间上使用预先计算的常数，并利用浮点的指数格式，以便将问题减少到该有限区间。

/* An ultimate exp routine. Given an IEEE double machine number x          */
/* it computes the correctly rounded (to nearest) value of e^x             */