C++ 比较集合与集合的最佳算法

在作为特定集合子集的有限集合中查找集合的最佳算法是什么

例如，如果

A = {1, 2}
B = {2, 3, 4}
C = {3, 5}
D = {6}

和X=

{1,2,3,5}

那么，A和C是X的子集

有没有一种算法可以在线性时间复杂度下实现这一点

<强>执行注释：集合的成员一般都在非常有限的范围内，因此，使用C++ BITSET实现算法是一个好主意。不能吗

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编辑：集合中的集合数通常大于X中的元素数（在示例中）。有没有一种方法可以根据X中元素的数量来线性化呢？可能使用哈希或其他什么？

让我们先假设64个可能的元素

然后，如果将每个元素表示为位，则可以使用64位长的整数表示每个集合，然后：

a&b

是

a

和

b

的组合。
如果（且仅当）

a

是

b

的子集，则

a&b==a

当然，如果需要64位以上的数据，可以使用位集

对于大范围的元素，可以使用哈希表存储（一次）超集，然后迭代潜在的子集以检查是否所有元素都在其中。
输入大小（平均情况）是线性的

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编辑：（对编辑问题的回答）

除非在数据上预先存储了一些信息，否则在

O（|X |+n*min{m，|X |}）

中，|X |是集合X的大小，

n

是集合的数量，

m

是集合的平均大小之前，就无法完成。
这样做的原因是因为在最坏的情况下，您需要读取所有集合中的所有元素（因为您为每个集合读取的最后一个元素决定它是否是子集），因此如果没有集合的先前知识，我们无法获得更好的结果

建议的解决办法是：
位集：

O（| X |*n）

散列解决方案：

O（|X |+min{m，|X |}*n）

（平均情况）

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尽管散列解决方案提供了更好的渐进复杂性，但常数对于位集来说要好得多，因此对于较小的

|X |

来说，位集解决方案可能会更快，如果不限制构建一些额外结构的时间，那么O（log（n））解决方案是将代表单个集合的位序列存储在一个集合中

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您不必像Amit假设的那样将您的集合（也称为位字符串）与所有其他集合进行比较。如果您有一个排序的位字符串集合，那么每次比较都会明显地将变体的数量减少一半。是的，当然，构建位集trie的时间类似于O（n*log（n）），但这是一个预处理过程。

在真正的线性时间中无法做到这一点。测试一个集合是否包含另一个集合在技术上永远是二次时间，但使用哈希表将使这样的问题在实践中成为线性时间（如果集合的长度合理）。因此，你的问题的答案是，时间复杂度将是

M*N*Q

，如果M是集合的数量（A-D），N是这些集合中最大的集合的大小，Q是集合X的大小。你能给我一个链接或可能是算法的名称吗？与其说算法重要，还不如说算法的数据结构重要。正如您（和@amit）所提到的，如果可能的元素数量有限，则位集非常有用。A是另一种非常有用的数据结构（C++中，它被称为AN。你的答案是正确的。但是如果集合中的集合数量非常大，但X中的元素数量很少？我能更有效地这样做吗？”穆罕默德：答案是：如何排序的位串集合可以减少比较的数量？例如，如果x= {3，6}。3在其中一个集合中，6可能在另一个集合中没有3？我们如何将集合放入Trie？如果我们想在Trie中搜索集合，时间复杂度很好。但是我们必须计算X和Trie中每个项目之间的交集。Trie如何帮助我们找到集合的交集？