C++ 如何计算二维和三维空间中多边形的中心

考虑二维笛卡尔空间中的一个简单凸多边形。如果给定一个按逆时针方向排序的顶点坐标列表，像这样

[[x0，y0]，…，[xn，yn]

。如何计算多边形的中心（多边形内部与所有顶点等距的点）

也考虑第二种情况，多边形放置在三维笛卡尔空间中，其法线向量不平行于任何笛卡尔轴。如果不旋转多边形，如何计算圆心

我可以阅读C/C++、Fortran、MATLAB和Python，但是任何伪代码也很受欢迎

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我现在意识到我的问题提出得不好。对此我很抱歉。似乎我要寻找的是多边形的质心（即，假设密度和重力场均匀时，纸板切口的平衡点）。

首先，对于多边形，质心可能并不总是意味着从质心到顶点的等距长度。在大多数情况下，这可能不是真的。也就是说，只需找到

x

坐标的平均值和

y

坐标的平均值，就可以找到质心。在Matlab中：

centroidx=mean（xcoords）

和

centroidy=mean（ycoords）

是质心的坐标。看看你是否真的需要更多。

你对中心的定义通常没有意义

要看到这一点，只需在一个平面上画三个不对齐的点，并计算一个唯一的圆，该圆将通过所有三个点。很明显，三角形的中心必须是这个圆的中心

现在画一个不在圆上的第四点，形成四边形。中心是什么？平面中没有与所有顶点等距的点

还要注意的是，即使是使用与顶点等距的点的三角形，也可以为您提供远离多边形的外部点，并且在数值上也不稳定（给定任意ε>0和M>0，始终可以构建一个三角形，其中顶点的特定移动距离小于ε，中心移动距离大于M）

常用的易于计算的“中心”是所有顶点的平均值、边界的平均值、质心，甚至只是与轴对齐的边界框的中心。但是，如果多边形不是凸的，所有这些中心都可能位于多边形之外，但在您的情况下，它们可能会起作用

最简单合理的一个（因为它不依赖于坐标系）是顶点的重心（Python代码）：

不好的是，仅仅分割多边形的一侧就可以得到一个不同的中心（换句话说，它取决于顶点，而不是多边形边界上的一组点）。依赖于多边形的最简单的方法是边界的重心：

sx = sy = sL = 0
for i in range(len(points)):   # counts from 0 to len(points)-1
    x0, y0 = points[i - 1]     # in Python points[-1] is last element of points
    x1, y1 = points[i]
    L = ((x1 - x0)**2 + (y1 - y0)**2) ** 0.5
    sx += (x0 + x1)/2 * L
    sy += (y0 + y1)/2 * L
    sL += L
xc = sx / sL
yc = sy / sL

对于这两种情况，3d的扩展都很简单……只需使用相同的公式添加

z

对于一般（不一定是凸的，也不一定是简单连接的）多边形，我发现一个“中心”很有用，但计算起来并不简单，它是（一个）距离边界最大的内点（换句话说是一个“最内”点）

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在这种情况下，我求助于使用离散（位图）表示和高斯距离变换。

均值（x）均值（y）

？我不确定所有多边形是否存在与所有顶点等距的点（例如，（0,0）、（0,1）、（0，-1）、（3,0）处的四边形点）。这不是四边形而是T形。通常，大多数多边形不会有一个与所有垂直面等距的点。你知道它们是规则的吗？确定这些点的凸包（如果愿意，将（0,0）移动到（-0.0001,0））.不管怎样，我认为你所描述的中心在总体上并不存在。你可以看看“质心”是否就是你所追求的。

sx = sy = sL = 0
for i in range(len(points)):   # counts from 0 to len(points)-1
    x0, y0 = points[i - 1]     # in Python points[-1] is last element of points
    x1, y1 = points[i]
    L = ((x1 - x0)**2 + (y1 - y0)**2) ** 0.5
    sx += (x0 + x1)/2 * L
    sy += (y0 + y1)/2 * L
    sL += L
xc = sx / sL
yc = sy / sL