C# 确保部分连通有向图是强连通的 上下文

我正在使用程序生成构建一个3d游戏。我试图以这样一种方式连接一些预先生成的房间，无论发生什么，玩家都可以到达地图上的任何其他房间。这些房间有“可能的入口点”，必须连接走廊。但是，并非所有入口点都可以从房间内的所有其他入口点到达。例如，可能有一个陷阱，因此底部的玩家将无法通过房间到达顶部，必须找到另一种方法

问题 给定嵌入在3d空间中的一组预先存在的有向图，添加一组总长度最小的（双向）路径，将子图连接到一个较大的图中。如果不能做到这一点（因为这表明这是NP难的），则会使路径尽可能短，以便在短时间内进行计算

工作至今 我的最佳解决方案是基于，他创建了所有节点的Delaney三角剖分。我将房间的每个强连接组件（例如，陷阱的顶层和底层）视为单独的节点，并以此为基础构建MST，但这限制了一些更有趣的可能性（例如，必须通过两个单向路径才能回到起点）

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有谁知道解决这个问题的更好的方法吗？

这个问题的嵌入部分使它变得非常混乱，所以我假设我们估计连接成本以获得一个有向图，其中我们想要一个最小成本的强连接弧子图。然后使用贪婪算法找到一个嵌入

对于多项式时间内的2-近似解：选择任意根顶点，然后使用计算最小成本根向和叶向生成树状图。返回这些元素的并集。这是一个2-近似，因为每个强连通弧子图都包含一个向根和一个向叶的跨越树状图（尽管不一定具有最小代价）。我现在从你的一个链接中看到基思·兰德尔也有这个想法

您可以实现任意数量的启发式。它们可能工作得很好，但我对它们并不感兴趣。如果你担心他们的行为不好，那么你可以用前面提到的2-近似来“支持”他们

如果你真的想要一个最优解，那么你最好的选择可能是整数规划。作为一个整数规划，这个问题与TSP有一些相似之处。TSP的程序如下所示

minimize sum_{v -> w} cost(v -> w) x(v -> w)
subject to
(-) for all v, sum_{v -> w} x(v -> w) = 1
(-) for all w, sum_{v -> w} x(v -> w) = 1
for all subsets S of vertices, sum_{v -> w, v in S, w not in S} x(v -> w) >= 1
for all v -> w, x(v -> w) >= 0

对于您的问题程序，我们删除标记为

（-

）的约束，这将强制选择弧作为巡更

minimize sum_{v -> w} cost(v -> w) x(v -> w)
subject to
for all subsets S of vertices, sum_{v -> w, v in S, w not in S} x(v -> w) >= 1
for all v -> w, x(v -> w) >= 0

该计划的双重目的如下

maximize sum_{subsets S of vertices} y(S)
subject to
for all v -> w, sum_{subsets S of vertices, v in S, w not in S} y(S) <= cost(v -> w)
for all subsets S of vertices, y(S) >= 0

最大化和{顶点子集S}y（S）
从属于
对于所有v->w，和{顶点的子集S，v在S中，w不在S}y（S）w中）
对于顶点的所有子集，y（S）>=0

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现在我们可以调整TSP的分枝定界解，应该有足够的教程材料。你不必做任何全新的事情；事实上，您可以将重点放在生成子任务约束/变量上，因为梳不等式等不适用于此问题。

也许您可以更好地利用在三维空间建模这一事实。这意味着您可以将问题划分为一组平面图，每个平面图表示不同的楼层。你可以先把每一层建筑成紧密相连的。然后，当您连接楼层（可能只有几个楼梯和陷阱）时，通过删除一些边来扰动解决方案，同时仍然保持整体强连接图。要删除的边的有趣选择可能会导致楼板本身失去强连通性，但在考虑其他楼板时会保持特性。这些被称为桥梁，有一个

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如果只计算边，而不计算边的长度，则单独求解平面图（楼层）会将其转换为多个边，而这仍然是NP难的，可以使用。但是，您提到您希望最小化路径的总长度，这使得这成为一个问题。由于它在电路设计中的适用性，人们在这个问题上做了很多工作。存在的近似值可能在最佳值的1.5倍范围内，这可能更适合您的工作：稍微长一点的走廊，而不是一个地方的所有入口。

因此您有两种类型的节点，一个房间和一个走廊，一个定向边表示可达性。。如果您也想在房间内处理可访问性问题，则需要将节点的定义从房间更改为玩家可以堆叠的块，并且可以使用游戏的物理\力学对问题进行建模