Delphi 环空上均匀（但非随机）间隔的n点集

你好

我目前在工作中面临着一个挑战，这是一个很难解决的问题

挑战：

---

我需要创建一个穿孔环形板，将激光切割孔模式的CAD图纸。孔需要尽可能接近等距，以便气流分布均匀。孔的总面积需要等于总环形面积的40%。根据我的计算，我需要10190个6.35毫米的孔来完成这个

解决方案：

编写一个小程序来计算点集的XY坐标，我可以将其导入我的CAD软件

问题：

为此，我想使用一种方法来计算点坐标。作为起点，我使用了来自的信息。到目前为止，我已经均匀地完成了点分布，看起来是近似等距分布的。我的问题是，我需要以某种方式指定环空的内外半径，其中N个点的点集必须落下。请不要说我一点也不喜欢数学，所以请尽量把答案弄清楚

这是我的代码：

procedure TForm1.btnCalcClick(Sender: TObject);
var golden_angle, radI, radO, rad, theta, x, y : Double;
    i, k, holeQTY, index : integer;
    xCoords, yCoords : Array of Double;
begin
 holeQTY := StrToInt(edtNumHoles.Text);
 golden_angle := Pi * (3 - Sqrt(5));
 radI := StrToFloat(edtRadInner.Text);
 radO := StrToFloat(edtRadOuter.Text);
 SetLength(xCoords, holeQTY);
 SetLength(yCoords, holeQTY);
 for i := 0 to holeQTY - 1 do
   begin
     theta := i * golden_angle;
     rad := Sqrt(i) / Sqrt(holeQTY);
     x := rad * Cos(theta);
     y := rad * Sin(theta);
     xCoords[i] := x;
     yCoords[i] := y;
     StatusBar1.Panels[1].Text := IntToStr(i+1) + ' of ' + IntToStr(holeQTY);
     StatusBar1.Update;
     Application.ProcessMessages;
   end;

for k := 0 to holeQTY - 1 do
  begin
    Chart1.Series[0].AddXY(xCoords[k], yCoords[k], '', clBlack);
  end;

end;

提前感谢,

---

Martin

编辑：考虑标准化

在

扩展点中给出的
页面方法用于填充单元圆圈。

你必须加上乘法系数A

rad := A * Sqrt(i) / Sqrt(N);

索引为N的最后一个孔应位于radO内：

A * Sqrt(N) / Sqrt(N) < radO - HoleRadius
so
A  =  radO - HoleRadius;

结果：

您必须使用系数A绘制带有索引的
holeQTY
点（N-holeQTY+1）…N
。示例代码：

var
  A, golden_angle, radI, radO, rad, theta, MinGap: Double;
  N, x, y, i, holeQTY, holeRadius: Integer;
begin
  holeQTY := 120;
  radI := 50;
  radO := 200;
  holeRadius := 4;
  MinGap := 3;
  golden_angle := Pi * (3 - Sqrt(5));
  A := Floor(radO - (holeRadius + MinGap));
  N := Ceil((holeQTY - 1) / (1 - Sqr((radI + holeRadius + MinGap) / A)));
  Canvas.Ellipse(300 - 200, 300 - 200, 300 + 201, 300 + 201);
  Canvas.Ellipse(300 - 50, 300 - 50, 300 + 51, 300 + 51);
  for i := (N - holeQTY + 1) to N do begin
    theta := i * golden_angle;
    rad := A * Sqrt(i) / Sqrt(N);
    x := 300 + Round(rad * Cos(theta));
    y := 300 + Round(rad * Sin(theta));
    Canvas.Ellipse(x - holeRadius, y - holeRadius, x + holeRadius + 1, y + holeRadius + 1);
  end;

（在MinGap介绍之前拍摄的图片）


双值编码

 holeQTY := 17;
  radI := 0.1234;
  radO := 0.23456;
  holeRadius := 0.00635;
  MinGap :=     0.0000635;
  golden_angle := Pi * (3 - Sqrt(5));
  A := radO - (holeRadius + MinGap);
  N := Ceil((holeQTY - 1) / (1 - Sqr((radI + holeRadius + MinGap) / A)));
  for i := (N - holeQTY + 1) to N do begin
    theta := i * golden_angle;
    rad := A * Sqrt(i) / Sqrt(N);
    x := rad * Cos(theta);
    y := rad * Sin(theta);
    Memo1.Lines.Add(Format('r:%5.4f  x:%f y:%f', [rad, x, y]));
  end;

产出

r:0.1317  x:0.12 y:0.05
r:0.1397  x:-0.13 y:0.05
r:0.1473  x:0.06 y:-0.13
r:0.1545  x:0.05 y:0.15
r:0.1613  x:-0.14 y:-0.08
r:0.1679  x:0.16 y:-0.04
r:0.1742  x:-0.10 y:0.14
r:0.1804  x:-0.02 y:-0.18
r:0.1863  x:0.14 y:0.12
r:0.1920  x:-0.19 y:0.01
r:0.1976  x:0.14 y:-0.14
r:0.2030  x:-0.01 y:0.20
r:0.2083  x:-0.13 y:-0.16
r:0.2134  x:0.21 y:0.03
r:0.2184  x:-0.18 y:0.12
r:0.2233  x:0.05 y:-0.22
r:0.2281  x:0.11 y:0.20

最后，从GUI中分离出可能的功能

type
  TPointDouble = record
    X, Y: Double;
  end;

function CalcRingPoints(const
                        InnerRadius,
                        OuterRadius,
                        HoleRadius,
                        CoverageRatio //range 0..1
                        : Double)
                        : TArray<TPointDouble>;
//doesn't check input validity and possible hole overlaps!
var
  ACoeff, golden_angle, rad, theta, MinGap, Area: Double;
  N, i, j, holeQTY: Integer;
begin
  holeQTY := Round(CoverageRatio * (Sqr(OuterRadius) - Sqr(InnerRadius)) /
    Sqr(HoleRadius));
  MinGap := 0.1 * HoleRadius;
  golden_angle := Pi * (3 - Sqrt(5));
  ACoeff := OuterRadius - (HoleRadius + MinGap);
  N := Ceil((holeQTY - 1) / (1 - Sqr((InnerRadius + HoleRadius + MinGap) /
    ACoeff)));
  SetLength(Result, holeQTY);

  for i := (N - holeQTY + 1) to N do begin
    theta := i * golden_angle;
    rad := ACoeff * Sqrt(i / N);
    j := i - (N - holeQTY + 1);
    Result[j].X := rad * Cos(theta);
    Result[j].Y := rad * Sin(theta);
  end;
end;

类型
TPointDouble=记录
十、 Y:双倍；
结束；
函数计算点（常数
内半径，
外层的，
霍雷拉迪乌斯，
覆盖率//范围0..1
：双份）
：焦油；
//不检查输入有效性和可能的孔重叠！
变量
ACoeff，golden_angle，rad，theta，MinGap，面积：双；
N、 i，j，孔数量：整数；
开始
孔数量：=圆形（覆盖范围*（Sqr（外表面）-Sqr（内半径））/
Sqr（HoleRadius））；
MinGap:=0.1*HoleRadius；
黄金角：=Pi*（3-Sqrt（5））；
ACoeff:=外层-（HoleRadius+MinGap）；
N:=Ceil（（孔数量-1）/（1-Sqr（（内半径+孔半径+明盖普）/
ACoeff),；
设置长度（结果、孔数量）；
对于i:=（N-孔数量+1）到N do begin
θ：=i*黄金_角；
rad:=ACoeff*Sqrt（i/N）；
j:=i-（N-孔数量+1）；
结果[j].X:=rad*Cos（θ）；
结果[j].Y:=rad*Sin（θ）；
结束；
结束；

这是一种用法

var
  Pts: TArray<TPointDouble>;
  i: Integer;
begin
  Pts := CalcRingPoints(1, 2, 0.2, 0.5);
  for i := 0 to High(Pts) do
    Memo1.Lines.Add(Format('%d  r:%5.4f  x:%f y:%f',
      [i, Hypot(Pts[i].X, Pts[i].Y), Pts[i].X, Pts[i].Y]));   
   //37 points

var
临时秘书处：焦油；
i：整数；
开始
Pts:=计算点（1,2,0.2,0.5）；
对于i:=0至高（Pts）do
备忘录1.行.添加（格式（“%dr:%5.4f x:%fy:%f'，
[i，Hypot（Pts[i].X，Pts[i].Y），Pts[i].X，Pts[i].Y]）；
//37分
让我们看看

实心圆盘的公式是显而易见的，对吗

r[max]=r_系数*sqrt（max）
这给了我们
r_系数=r[max]/sqrt[max]

你的问题似乎是，当我们的平面不是实心的圆盘，而是一个较小的圆盘与较大的圆盘相减时，该怎么办

嗯，愚蠢的懒惰方法是修正洞的数量。既然圆盘的平方与半径平方成正比，既然我们希望我们的孔以大致相等的距离分布，我们可以希望当我们有足够多的孔时，孔的份额（百分比）与圆盘的平方成正比，对吗

所以我们有


N=10190=N\u外部磁盘-N\u内部磁盘
N\u外部磁盘/N\u内部磁盘≈ S_外部/S_内部=（R_外部/R_内部）^2
N\u内部磁盘/N\u外部磁盘≈ S_内部/S_外部=（R_内部/R_外部）^2

我们必须运行循环
I:=N\u inner\u disk+1到N\u outer\u disk
计算


r[I]=r_系数*SqRt（I）
角度[I]=I*137.508*弧度系数

或者我们最好运行从
N_内部磁盘-10%到N_外部磁盘+10%
的循环，然后通过
（孔半径+10%）+r_孔[I]
和
r_孔[I]>r_内部+（孔半径+10%）
过滤所有超大的输出，因为我们的计算是近似的，所以我们无论如何都必须使用过滤，然后我们就可以从一开始就使用它

我相信您还需要添加一个变量-孔边缘和内/外圆边缘之间的最小间隙，这样hoels就不会在边缘部分脱离平台。由于缺少上述变量，并且为了简单起见，我在上面将间隙设置为孔半径的10%，这并不完全正确

回到我们的N-s

N=10190≈ N\u外部磁盘-N\u外部磁盘*（内部/外部）^2=N外部磁盘*（1-（内部/外部）^2）

及

N=10190≈ N\u内部磁盘*（R\u外部/R\u内部）^2-N\u内部磁盘=N\u内部磁盘*（（R\u外部/R\u内部）^2-1）

因此对于给定的N，R_外部，R_内部


N\u内部磁盘≈ N/（（外部/内部）^2-1）
N\u外部磁盘≈ N/（1-（内部/外部）^2）

现在从
N_-inner+1
到
N_-outer
运行循环，检查通过上述几何过滤器的孔总数及其累积平方，如果需要，稍微调整系数，使其略好于
N_-inner
和
N_-outer
，直到您能够接近适合您的分布

C
var
  Pts: TArray<TPointDouble>;
  i: Integer;
begin
  Pts := CalcRingPoints(1, 2, 0.2, 0.5);
  for i := 0 to High(Pts) do
    Memo1.Lines.Add(Format('%d  r:%5.4f  x:%f y:%f',
      [i, Hypot(Pts[i].X, Pts[i].Y), Pts[i].X, Pts[i].Y]));   
   //37 points