Floating point 如何用双精度模拟单精度舍入？

我遇到了一个问题，我试图重建现有系统中使用的公式，一个相当简单的一个输入和一个输出公式：

y = f(x)

经过一番费解，我们终于找到了符合观测数据点的公式：

正如你所看到的，我们的理论模型非常适合观测数据：

除了绘制残差（即，y=f（x）-实际上）时，我们看到残差中出现了一些行：

很明显，这些线是在我们的公式中应用一些中间舍入的结果，但在哪里不明显。最终，人们意识到原始系统（我们正在尝试反向工程的系统）正在以中间数据类型存储值：

• 分数的8位精度
• 使用0.5四舍五入四舍五入模型：

我们可以通过以下方式模拟分数中的8位精度：

multiply by 128 (i.e. 2^8)
apply the round
divide by 128 (i.e. 2^8)

将上述等式改为：

这大大减少了残余误差：

以上所有内容与我的问题无关，除了：

表明在计算机上模拟数值表示有助于模型的建立

用漂亮的图片和色彩吸引人们的注意力

让批评我的人保持沉默，直到我知道为什么我要问我的问题

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现在我想在使用双精度浮点数的编程语言（和Excel）中模拟单精度浮点数。我想这样做是因为我认为这是我所需要的

在上面的示例中，我认为原始系统使用的是

十进制数据类型，具有固定的8位小数精度，使用0.5取整规则

。然后我必须找到一种方法，用

Double

math模拟计算模型。现在我认为原来的系统使用的是

单精度

数学，我想用

双精度

来模拟

如何使用双精度模拟单精度舍入

在我当前的模型中，我再次发现残差属于规则的线性模式——这是舍入的一个信号：

问题是，当我的输入变量变大时，错误变得更大，并且只可见。我意识到这可能是因为所有浮点数都被规范化为“科学符号”

即使我错了，我还是想试试

即使我不想尝试，我仍然在问这个问题

如何使用

双精度

模拟

单精度

舍入

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在我看来，我仍然可以应用“8个小数位后舍入”的概念（尽管24位表示单精度浮点），只要我可以首先“规范化”值。e、 g

1234567898.76543

需要转换为（类似于）：

然后，我可以将我的“舍入”应用到第24位（即2^24=16777216）

那么，问题是我可以应用

符号

、

abs

、

ln

、

exp

（或其他函数）的什么组合，以便“规范化”我的值，将其四舍五入到第n个二进制位，然后“反规范化”它

注意：我意识到IEEE表示将二进制

1

保留为最高有效位。为了得到正确的结果，我可能不需要重复这种行为。因此，它不是一个交易破坏者，也没有理由认为整个方法是失败的

另见

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您希望使用库函数frexp和ldexp，它们是标准的C99函数，在Lua中可用

frexp接受一个浮点数，并将尾数与指数分开。结果尾数为0或在[0.5,1.0]或（-1.0,0.5）范围内。然后，您可以以明显的方式删除任何额外的位（

floor（例如，对于非负值，尾数*2^k）/2^k）。（编辑为添加：）在调用ldexp时，最好从指数中减去k，而不是像图所示进行除法，因为我非常确定Lua不能保证2^k是精确的

ldexp是frexp的倒数；您可以使用它将截断的数字重新组合在一起

我不知道如何在Excel中执行此操作。请查看手册：）（编辑为添加：）我想您可以获得大致相同的效果，方法是将数字除以2，再除以该数字的对数2上限的幂，然后按上面所示进行二进制四舍五入，然后颠倒过程重新创建原始指数。但我怀疑，Excel关于算术的独特想法偶尔会导致结果的特殊性。
您可以使用以下方法获得单精度舍入的大部分效果：

y = x + x * 0x1p29 - x * 0x1p29;

在大多数情况下，这会在y中产生相同的结果，就像x被四舍五入为浮点（32位二进制IEEE 754），然后转换回double（64位）。它通过添加一个值（x*0x1p29）来工作，该值将x的一些位“推”出有效位，导致位23处的舍入，然后减去所添加的值。（
0x1p29
是229536870912的十六进制浮点。）

在极少数情况下，它会产生稍微不同的结果。如果您只想减少模型中的噪声，这些罕见的情况可能可以忽略不计。如果你想消去它们，那么，你可以找到2的最大幂不大于x，而不是加和减229x，然后加和减229倍，而不是229x。（要求2的幂，可以取以2为底的对数并取其底。但是，仍然存在舍入问题，可能需要进行补偿。此外，如果输入mig
floor(1.23456789876543E-09 * 16777216 + 0.5) / 16777216;

y = x + x * 0x1p29 - x * 0x1p29;

double x, y;
/ ... y gets a double value somewhere ... /
x = (double)(float)y;

Function SINGLEFLO(Eingang As Double)
    Dim MySingle As Single
    MySingle = CSng(Eingang)
    SINGLEFLO = CDbl(MySingle)
End Function