Floating point 是否有可能证明| a-b+；b-a |<；=ulp（a）适用于所有双浮点数？

所以我想知道，如果| a |>=| b |，不等式| a-b+b-a |=| b |或| a |一些预备知识：

• 我假设使用IEEE-754算法，使用二进制基数，四舍五入到最接近的偶数

• 我进一步假设所有操作数和运算结果都是有限的（既不是无穷大也不是NaN）。（如果可能出现无穷大或NaN，则命题是错误的。如果a和b的大小略小于可表示的最大有限值，但符号相反，则

  a−b是一个无穷大，所以a−b+b−a

  是一个无穷大，其大小超过了a的ULP。）

• 斜体表示数学变量，如a和b。代码格式表示计算的算术运算，例如a+b，而a+b是精确的数学结果

• 我假设a和b是可表示的，这意味着我们从a等于

  a

  和b等于

  b

  开始，而不是从任意实数a和b开始，它们首先转换为可表示的值

  a

  和

  b

• 四舍五入到最接近偶数的最大误差为数学结果的½ULP。这是正确的，因为任何结果都位于一个可表示值上或两个可表示值之间。如果介于两个值之间，则“舍入到最近值”选择较近的一个值，其距离最多为两个值之间距离的一半

• 对于“x的ULP”，我将写ULP（x）。如果x不是可表示值，则ULP（x）是小于| x |的最大可表示值的ULP

|a−b |最多是2 | a |，因为| b |≤ |a |。所以

a中的错误−b

最多为½ULP（2 | a），即1 ULP（a）。因此

a−b

=a−b+e表示某些舍入误差e和| e |≤ ULP（a）

现在考虑添加<代码> A的数学结果−b和

b

。数学结果是

a−b

+b=a−b+e+b=a+e。因此，数学结果在a的1ULP范围内，包括在内。那么，它能做些什么呢

根据ULP的定义，下一个大于a的可表示数字为a+ULP（a）。1下一个小于a的可表示数字通常为a− ULP（a），但可能是− ½ULP（a），如果a正好是2的幂（因此它是二进制代码中的最低数字，下一个较低的数字具有较小的指数）。即使在这种情况下，也有另一个代表性的数字在一个位置− ULP（a）

因此，数学结果a+e位于闭合区间[a]−ULP（a），a+ULP（a）]，由两个可表示的数字限定。设x为更接近a+e的端点，并假设a+e根据舍入到最接近偶数的规则舍入到y。如果y在间隔之外，则从a+e到y的距离大于到x的距离，因为y在同一方向上超过x，或者因为y在另一个方向上，因此超出了另一个端点，该端点距离a+e至少与x一样远，因此y更远。因此，a+e舍入到一个端点或间隔内的某个其他可表示数字。因此，它四舍五入到一个ULP内的某个数字

因此

a−b+b

距离a最多1 ULP（a）

脚注

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1为了舍入的目的，如果x是最大的可表示有限值，则x+ULP（x）被视为可表示，直到舍入决定完成。如果四舍五入导致选择x+ULP（x），则结果为∞. （对于负值，同样的us对称为真。）

最好指定评估a+b+b-a的评估顺序。假设这些运算是按文本顺序应用的，即从左到右？运算是根据IEEE-754执行的，是浮点基数二进制，是四舍五入到最接近偶数的关系？如果直接在操作数中或在运算过程中涉及无穷大或非，则命题为假。特别是，如果a和b接近最大可表示有限值，但符号相反，则

a-b

是一个无穷大，

a-b+b-a

，因此其大小大于a的ULP。讨论得好。一些澄清：Was“最多是2 | a |的½ULP”意味着“最多是2 |

a

|”的½ULP”？我希望精确数学a结果的ULP为0，因为它没有最后一位。或者你是用ULP（a）来表示ULP（四舍五入到最接近的双精度（a））-它与范围内的a有一些模糊性（下一个（2，0的一些幂）…2的一些幂）？@chux：我用a和b作为

a

和

b

，所以2 | a和2 |

a

。只有当我们开始计算时，数学和计算才会有所不同，比如在− b和

a-b

。如果我的评论不清楚，很抱歉。答案听起来仍然像ULP应用于数学计算，因为“

a-b

在a的1ULP范围内−b”。也许“a-b在

a的1 ULP范围内−b

“？回答得好，艾克。@chux:我还不清楚你的意思，但我想让答案更正式一些，所以我就这么做了。希望我能澄清一些事情。