Floating point 超大数正弦的标准

我正在编写一个（几乎）符合IEEE 854的TeX浮点实现（它只支持32位整数）。本标准仅规定了

+

、

-

、

*

、

/

、比较、余数和

sqrt

：对于这些操作，结果应与将精确结果四舍五入到可表示数字的结果相同（根据舍入模式）

我似乎记得IEEE规定超越函数（

sin

，

exp

…）应该产生忠实的结果（在默认的四舍五入模式中，它们应该输出围绕精确结果的两个可表示数字中的一个）。计算小数值的正弦非常简单：移动2*pi的倍数以获得[0,2*pi]范围内的数字，然后再做一些工作将范围缩小到[0，pi/4]，并使用泰勒级数

现在假设我要计算sin（1e300）。为此，我需要找到1e300模2*pi。这需要知道π的300（316？）位小数，因为只有16位小数，结果就没有任何意义（特别是，它不可靠）

对于sin（1e300）和类似的非常大的数字的结果应该是什么，是否有一个标准

---

其他浮点实现会做什么？

如果要对如此大的数字执行操作，那么当然会耗尽精度：

#包括
#包括
int main（）{
长双i=1；
std:：cout没有标准要求对超越函数进行可靠的四舍五入。IEEE-754（2008）建议但不要求这些函数正确四舍五入

大多数优秀的数学库都努力在整个范围内提供忠实的四舍五入结果（是的，即使是对
sin（）
的大量输入和类似的困难情况也是如此）。正如您所注意到的，这要求库知道更多π的位数，然后在最大的可表示数中有位数。这称为“无限π”论点简化

就@spraff提出的观点而言，好的数学库采用的观点是，输入是无限精确的（即，函数的行为应该像输入总是被精确地表示一样）。人们可以争论这是否是一个合理的位置，但这基本上是所有好的数学库的工作假设

综上所述，有很多库采用简单的方法，使用“有限pi”缩减，基本上处理函数
sin（）
就好像π是一个可表示的有限数。事实证明，对于大多数应用来说，这并不会带来任何麻烦，而且更容易实现。
+1对一个有趣问题的很好的解释（我以前没有想过）或者更简单地说，
1e300+2pi
=
1e300-2pi
=
1e300
，因此
1e300
表示的可能精确值可以有任何值作为其
sin
？@Damien\u不相信者，当
1e300
四舍五入到最接近的
double
表示值时，四舍五入超过一个区间长度l大约为
1e284
。因此，当我们将
1e300
四舍五入到一个可表示的
double
时，我们“通过”非常多的
2pi
长度周期。因此取
sin
是毫无意义的。但是，从数学上讲，在我们将参数四舍五入到一个可表示的值后，可以计算该确切参数的
sin
。要做到这一点，需要对
2pi
的表示进行大量的精确计算。正如我在中所说的对另一个答案的注释，在.NET中，
Sin（1e300）=1e300
“无限pi参数缩减”当你有大参数时会有帮助，但当你有非常大的参数时则不会。库可以假定它的输入是准确的，但当输入+ε==input时，它就不再重要了。@spraff：对于向后错误分析来说，这不重要了。当使用其他形式的错误分析时，它才重要，这就是问题所在最好的数学库所遵循的标准。例如，请参阅K.C.Ng的“好到最后一点”进行讨论。在您的第三段中，您可以注意到好的库可以做到这一点，因为IEEE-754（2008）认为浮点数是无限精确的。您能举一个“好的数学库”与这些库的例子吗“走简单的路线”？我想这会增加你的答案。简单路线不会造成太多麻烦的一个原因是它不会违反三角恒等式，比如sin（2x）=2*sin（x）*cos（x）@Bruno:如果你只需要两个实现来匹配，你可以对两个实现使用相同的有限pi近似值。只要你小心地用同样的方法对这两个实现进行运算，这就足够了。@BrunoLeFloch.NET的库几乎不“好”。我刚刚意识到当参数超过
Pow（2，63）时
，该方法返回其参数不变！因此当
Sin（9.223372036854775E+18）==0.98734189131435146
可能不精确时，
Sin（9.223372036854776E+18）
大约是
9.22E+18
。。。