Floating point 检索浮点操作中丢失的数字

是否有可靠的标准方法来检索浮点运算中丢失的尾数

即

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是的，有。这是中使用的基本操作，与您的代码非常相似。其工作原理如下：

assert(a >= b)
sum = a + b
bPrime = sum - a
resid = b - bPrime

a+b

（精确值，而不是计算数量）现在正好等于

sum+resid

（同样，精确值）。当然，您不能直接使用它：在浮点上下文中计算

sum+resid

只会产生

sum

。Kahan求和的思想是在添加后续项时重新引入残差。其他方法只是将值保留为一组具有不重叠尾数的浮点数的隐式和。

Fast2Sum 下面解释了一个警告，问题中显示的算法是T.J.Dekker在1971年描述的Fast2Sum算法，尽管它在1965年首次作为William Kahan的“补偿和法”的一部分出现。如果：

• 浮点基数是2或3
• 低于正常值的数字可用
• 每项操作均以四舍五入的方式进行
• 每个操作都以相同的浮点精度执行，并且

• sum

  不会溢出到无穷大

然后，根据Jean-Michel Muller等人在《浮点算术手册》2010年第4.3.1条“Fast2Sum算法”中的规定，

sum

和

lostDigits

的实数和等于

a

和

b

警告 Fast2Sum要求

a

的指数至少与

b

的指数一样大。因此，如果

a

或

b

可能为阴性，则测试

a>b

不充分

fabs（a）>fabs（b）

足以确保then子句有效，但不能保证else子句有效。相反，Muller等人给出了一个2Sum算法，该算法适用于任何基数和任何

a

和

b

的正常数字，前提是不存在溢出或半径大于2的下溢1：

脚注

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1正如aka.nice所指出的，如果支持低于正常值，则下溢似乎不会成为问题。由于加法和减法运算不涉及位置低于其操作数的任何数字，因此与为避免下溢而缩放的相同运算相比，下溢到次正常结果的计算结果不应有任何差异。在这个回答中，我报告了Muller等人所做的陈述。如果支持低于正常值，代码可能会与底流一起工作，但我不愿意在未经仔细考虑的情况下更改Muller等人。

您的目的是什么？通常不会，因为您的操作仍然会失去精度。您可能希望使用高精度数学库（例如，在其中设置位数），但这可能会很慢（但对于检查/理解浮点数或少数特定计算很有用）。仅供参考，浮点数分数部分的首选术语是“有效位”，而不是“尾数”。“尾数”是一个古老的词，表示对数的分数部分。尾数是对数的：在尾数上加上一个数字。有效位是线性的：有效位乘以一个数字。@GiacomoCatenazzi:如果你对巧妙使用浮点运算的目的有疑问，然后请查阅一本教科书，如Muller等人的《浮点运算手册》。熟练的实践者通常以经过适当验证和设计的方式使用这些技术，这与堆栈溢出上流行的许多业余信息形成了对比。如果你的问题是为了劝阻OP不要这样做，那么请停止。这是正确使用浮点运算的正确方法。@EricPostpischil:我想你误解了我的评论。这个问题没有什么背景。现在我看到了答案，我认为你是对的。无论如何，我并没有劝阻。在任何情况下，如果您这样做了，也要做一个测试函数：不幸的是，新编译器或意外的标志设置并不少见，这会导致不必要的优化（C对浮点更严格，但GCC有标志来增加优化/排序操作）。

if（a>b）

如果

a、b

都是正数，那么

if（a>b）

有一定意义。通用的

Sum（）

需要处理其他情况。在base 2中，如果操作发生下溢，则操作将是精确的。我只是想知道为什么在其他基地要注意下溢？@aka.nice：我同意。作为脚注添加。

assert(a >= b)
sum = a + b
bPrime = sum - a
resid = b - bPrime

s  = a  + b;
ap = s  - b;
bp = s  - ap;
ad = a  - ap;
bd = b  - bp;
t  = ad + bd;