Functional programming 除了幺半群之外，函数式编程中还有其他代数结构吗？

我最近开始了解函数式编程（在Haskell和Scala中）。它的功能和优雅是相当迷人的

但是当我遇到Monads时，它使用了一种叫做Monoid的代数结构，我很惊讶，也很高兴看到我从数学中学到的理论知识在编程中得到了应用

这个观察给我带来了一个问题：在编程中是否可以使用组、字段或环（其他请参见）来实现更多的抽象和代码重用目的，并实现类似数学的编程

据我所知，名为的语言（在编译完成后，我肯定会优先于任何语言）在其库代码中定义了这些结构。但到目前为止，我看到的唯一用途是数字类型，我们已经很熟悉了。它们还有其他用途吗

致以最良好的祝愿，

---

ciun

Haskell's是单子的一种推广，可能与之相关。

您可以对许多结构进行建模。以下是一组：

class Group a where
    mult :: a -> a -> a
    identity :: a
    inverse :: a -> a

instance Group Integer where
    mult = (+)
    identity = 0
    inverse = negate

-- S_3 (group of all bijections of a 3-element set)
data S3 = ABC | ACB | BAC | BCA | CAB | CBA
instance Group S3 where
    mult ABC x = x
    ... -- some boring code
    identity = ABC
    inverse ABC = ABC
    ... -- remaining cases

-- Operations on groups. Dual:
data Dual a = Dual { getDual :: a }
instance Group a => Group (Dual a) where
    mult (Dual x) (Dual y) = Dual (mult y x)
    identity = Dual identity
    inverse (Dual x) = Dual (inverse x)

-- Product:
instance (Group a, Group b) => Group (a,b) where
    mult (x,y) (z,t) = (x `mult` z, y `mult` t)
    identity = (identity, identity)
    inverse (x,y) = (inverse x, inverse y)

现在，您可以编写

mult（双驾驶室，5）（双CBA，1）

并获得结果。这将在S3组中进行计算*⨯ Z.您可以添加其他组，以任何可能的方式组合它们，并使用它们进行计算

---

环、字段、排序、向量空间、类别等也可以做类似的事情。不幸的是，Haskell的数字层次结构建模不好，但有人试图解决这个问题。还有一个极端的例子。对于类型类之旅（主要由范畴理论推动），有一个包含大量示例和应用程序的列表。

我推荐Edward Kmett的非常可读且相关的软件包。这可能会让你忙上好几年。

这并不完全是你想要的，但《Typeclassopedia》中的文章可能仍然很有意思：它是哈斯克尔前奏曲中几个类型类（

Functor

，

Applicative

，

Monoid

，

Arrow

）的详细解释。