Functional programming 映射函数的逻辑Coq证明

我试图证明以下引理：

forall (A B : Type) (f : A -> B) (l : list A) (y : B),
    In y (map f l) <->
    exists x, f x = y /\ In x l.

forall（ab:Type）（f:A->B）（l:list A）（y:B），
y方向（地图f l）
存在x，f x=y/\In x l。

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我先分裂来处理第一个方向，然后在l上做归纳，这样基本情况就容易了。但过了这一关，我就被卡住了。我认为这与存在x有关，而且无论我在哪里尝试引入x，我都无法让x与x0对齐。救命啊

我不理解您关于

x0

的问题，如果这是关于Coq自动将

x

重命名为

x0

如果我要实现你的目标，我会按如下方式实现：

Goal forall (A B : Type) (f : A -> B) (l : list A) (y : B),
    In y (map f l) <->
    exists x, f x = y /\ In x l.
Proof.
  intros A B f l y. split.
  - intro h. induction l as [| a l ih].
    + contradict h.
    + simpl in h. destruct h as [h | h].
      * exists a. split.
        -- assumption.
        -- left. reflexivity.
      * specialize (ih h). destruct ih as [x [e i]].
        exists x. split.
        -- assumption.
        -- right. assumption.

所有目标（A B:类型）（f:A->B）（l:列表A）（y:B），
y方向（地图f l）
存在x，f x=y/\In x l。
证明。
介绍A B f l y。分裂
-介绍h。归纳法l as[| a l ih]。
+反驳h。
+h中的simple。将h分解为[h | h]。
*存在a。分裂
--假设。
--左。自反性。
*专攻（IHH）。将ih分解为[x[ei]]。
存在x。分裂
--假设。
--对。假设。

也许你想把归纳假设和直接应用它的目标联系起来？

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不幸的是，我认为你必须像我一样，首先将归纳假设分解成一个

x

及其属性，然后重新构建目标，在

l

归纳l的尾部；一级；subst；建造师；自反性。

关于你的问题；要处理第二种情况，您知道

在y中（map f（a：：l））

这实际上是两种情况-

y

在列表的开头或结尾。对这一事实进行倒置，以便根据这一信息进行拆分。然后很容易看出，请求的

x

是在反转后弹出的

a

。我认为没有必要进行

反转

（在大多数情况下可能最好避免），尤其是在这里，因为一个简单的

析构函数

就足以检查这两种情况。