Functional programming 如何基于此递归函数确定度量函数？

ACL2中定义了一个函数，我们的任务是创建一个度量函数来帮助证明终止。这是函数定义：

(defunc f (x a)
  :input-contract (and (integerp x) (listp a))
  :output-contract (integerp (f x a))
  (cond
   ((endp a)                 68)
   ((equal (len a) x)        71)
   ((equal (len a) (+ x 1))  74)
   ((< x (len a))            (f (+ x 1) (rest a)))
   (t                        (f (- x 1) (cons 1 a)))))

根据函数中的两个递归调用，我们能够确定将包含度量函数的else情况。然而，我们不了解它的其余部分，以及计算这个度量函数的过程

作为参考，度量函数：

m是定义在f参数上的容许函数

m与f具有相同的输入合同

m有一个输出合同，声明它总是返回一个自然数；及

在每次递归调用中，应用于该递归调用的参数的m减小， 在导致递归调用的条件下

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导致确定该度量函数的过程是什么？

在确定度量函数时，要问自己的问题是：在每次迭代中消耗的“势能”是多少，到某个点它都消失了，迭代停止了

首先要看的通常是终止条件。在本例中有三个，但最后两个是最有趣的：他们说如果

x

和

（lena）

之间的差异太小，我们就停止迭代

这给了我们一个想法：如果势能是

（lena）

和

x

之间的差值，会怎么样？为了验证这是否有意义，我们需要检查递归情况，并确保每个递归情况都会消耗一些能量，即减小差异。这里的情况看起来不错：

• 如果

  x

  小于

  （len a）

  我们将

  x

  增加1，将

  （len a）

  减少1。因此，如果它们之间的差值是n，那么在下一次迭代中，它将是n-2，除非x=

  （lena）

  -1
• 否则，

  x

  大于

  （len a）

  ，我们将

  x

  减少1，将

  （len a）

  增加1。同样，如果它们之间的差值是n，那么在下一次迭代中，它将是n-2，除非x=

  （lena）

  +1

从这里很容易看出，我们应该选择x=

（lena）

+1作为我们的“低能态”，因为它处理了这两个除非子句的烦人细节

(m x a) = (if (equal (len a) (+ x 1))
              0
              (abs (- (len a) x)))