Geometry 大圆与直角线交点

我有一个纬度，经度，和一个旅行方向，以正北度为单位。我想计算一下我是否会与另外两个Lat/Lon点定义的线相交

我想定义这条线的两点将创建我的大圆，我的位置和方位将定义我的等角线

我只对几百公里的交叉口感兴趣，所以我不需要所有可能的解决方案

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我不知道从哪里开始。

简单的答案是肯定的——如果你从任何纬度开始，继续沿着某个大圈旅行，你最终会穿过地球上的任何和所有其他大圈。地球上每两个大圈都在两个点上相交，但两个完全相同的大圈除外，它们在所有点上相交

但我猜你不仅仅是在问一个是/否的问题。你可能想知道这两个大圆圈到底在哪里相交。我们可以使用以下策略来发现：

每个大圆都位于一个穿过地球中心的平面上

这些平面的交点是一条直线，假设它们不是完全相同的平面

这条相交线在两个点穿过地球表面——正好是我们两个大圆相交的地方

我们的任务是：找到飞机。2找到它们的交叉线。3找到两个交点，最后，4用lat/long表示这些交点。5计算出哪个交点更接近开始时的纬度/经度的额外积分

听起来不错？下面使用trig和vector math实现这一点。为了简化数学，我们将：

使用，以x，y，z坐标系原点为中心，半径为1:x^2+y^2+z^2=1的。 我们假设地球是一个完美的球体。不是。连一个都没有。 我们将忽略高程。 步骤1-查找平面：

我们真正关心的是这个问题。以下是我们如何找到他们：

-一个大圆由它在地球上穿过的两个点定义

法线将是从原点0,0,0开始的每个点的x、y、z向量的方向。给定每个点的lat/lon，使用转换，相应的x、y、z为：

x=cos(lat)*sin(lon)
y=cos(lat)*cos(lon)
z=sin(lat)

有了这一点，我们得到的两点是lat1/lon1和lat2/lon2，我们可以找到向量P1=x1，y1，z1和P2=x2，y2，z2

第一个大圆法线是叉积：

N1=P1 x P2

-另一个大圆由地球上的一个点和一个方位角定义

我们有一个点P3和一个方位角T。我们将沿着大圆找到一个点P4，在方位角T处穿过P3，距离为PI/4，通过使用：

那么正常情况与之前一样：

N2=P3 x P4

步骤2：找到与直线相交的平面：

给定两条平面法线：

步骤3：找到交点：

用向量L得到单位球面上的一个交点。另一点位于球体的另一侧：

X1=L/|L|
X2=-X1

第4步：用lat/lon表示交点：

给定X=X，y，z，再次使用，并考虑到点位于单位球体上：

lat=asin(z)
lon=atan2(y,x)

第五步：两点中哪一点更近

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使用计算点到X1和X2的距离，选择较近的一个。

我认为最好的方法是使用将问题从球体映射到平面。这个投影非常有用，因为它将你的等角线映射到一个形式为R=expθa，又称a，loxodrome的对数螺旋，并将你的大圆映射到平面上的一个圆。所以你的问题归结为找到一个对数螺线和一个圆的交点，然后映射回球体

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这只是一个让你开始的草图。如果您需要更多详细信息，请询问。

我不认为我要找的是大圆/大圆交叉点。实际上我已经实现了。如果我以恒定的方位角旅行，我会不会绕着地球向两极之一旋转呢？至少我想象自己在正西的一个极点附近旅行，可能会形成一个平行于赤道的小圆圈。我想我正在寻找一个小圆/大圆交叉点或射线/大圆交叉点（如果存在）。如果你正东或正西旅行，你将环绕地球并回到起点。如果你在一个恒定的航向上旅行，在正东或正西的某个ε北或南，但不是正北或正南，你确实会螺旋到其中一个极点。这被称为等角线，在现代电子导航设备和计算机能够绘制大圆之前，这是一种简单的空中导航方式。从这个问题上看，你不清楚你想要保持方位角。这确实会给你一条等角线路径，它比一个大圆更复杂。除非距离我

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它们非常小，你看到的是一个无限长的抱杆螺旋。维基百科页面上有描述等角线曲线的数学。我没有数学来解决GC/rhumb交集的无穷多个解。通过将搜索限制在contd.contd，数值方法将缩小交叉口的范围。单圈，通过查看GC的正常点积和测试点的符号，测试GC的哪一面。列出了数值方法，而牛顿的方法可能足够简单和快速，可以迅速缩小根的范围。@Oren:谢谢，谢谢你，+1。这帮了我很大的忙，我刚刚发现，对于平面法向叉积，我需要反转x和y的直线：x=coslat*sinlon；y=coslat*coslon；反转为y=共平面*正弦；x=coslat*coslon；这个问题似乎离题了，因为它是关于数学而不是编程的

X1=L/|L|
X2=-X1

lat=asin(z)
lon=atan2(y,x)