Geometry “的逻辑；“轻微右转”；给三分

给定三个共面（2D）点（X1，Y1），（X2，Y2）和（X3，Y3），分别表示“1=我在哪里，2=我在哪里，3=我要去哪里”，我需要一个简单的算法来告诉我，例如

• 右转
• 向左转
• 向左拐

换句话说，（a）是向左或向右转弯；（b）转弯有多急（让我随意说一下）

在第一部分中，我已经学习了如何使用叉积（参见维基百科：Graham Scan和这里的问题#26315401）根据路径是否逆时针确定转弯是向左还是向右

而且，我确信ATAN2（）将是决定转弯有多快的核心

但是我不能。。相当地把我的头绕在正确的数学上，这将在所有方向上起作用。（尤其是当角度穿过零线时。（350度到10度的轴承是20度的间隙，而不是340度等）

---

好吧，我已经厌倦了。[…今早我的头撞在墙上了]“每次我想我得到了它，我都不确定。”所以，好吧，是时候问…：-）

当你用Atan2计算方向变化角度时，不要担心绝对角度。您不必计算两个方向角并将其减去-Atan2可以为您提供范围

-Pi..Pi（-180..180）

中第一个和第二个矢量之间的相对角度（范围可能取决于编程语言）

一些解释：我们可以通过叉积和向量范数来计算向量角的正弦（

|A |=Sqrt（A.x*A.x+A.y*A.y）

）：

通过点（标量）积和向量范数的向量角余弦：

Cos(A_B) = (A * B) / (|A|*|B|)

假设Atan2使用该角度的正弦和余弦计算角度，不包括公分母（范数的乘积）

Delphi中的示例：

var
  P1, P2, P3: TPoint;
  x12, y12, x23, y23: Integer;
  DirChange: Double;
begin
  P1 := Point(0, 0);
  P2 := Point(1, 0);
  P3 := Point(2, 1);
  x12 := P2.X - P1.X;
  y12 := P2.Y - P1.Y;
  x23 := P3.X - P2.X;
  y23 := P3.Y - P2.Y;
  DirChange := Math.ArcTan2(x12 * y23 - x23 * y12, x12 * x23 + y12* y23);
  Memo1.Lines.Add(Format('%f radians   %f degrees',
    [DirChange, RadToDeg(DirChange)]));

输出：

0.79弧度45.00度

（左转）

对于示例数据集（1,1）、（3,2）和（6,3）

---

-0.14弧度-8.13度

（右转）

编辑-以下是错误的。我最初的回答如下

当我试图使用你的回答时，我没有想到预期的答案

假设这些点是：（1,1）、（3,2）和（6,3）。温和的右转

使用电子表格，我得出：X12=2，X23=3，Y12=1，Y23=3，ATAN2结果（以度为单位）为101.3。超过90度的急转弯。第2行的电子表格公式（清单X1、Y1、X2、Y2、X3、Y3、X12、X23、Y12、Y23和答案）为：

=DEGREES(ATAN2(G2*J2-H2*I2; G2*I2+H2*J2))

（电子表格OpenOffice将“X”列为ATAN2的第一个参数。）

你确定是我错了吗

事实上（可以这么说），“是的，是的！”

（嘿，其实我自己也说过。我只是没想到，嗯，已经换了。）

我的电子表格版本的ATAN2函数首先指定X参数。大多数编程语言（Delphi、Perl、PHP…）首先指定Y，这就是（正确的！）答案的给出方式

当我编辑公式，反转参数以满足电子表格的定义时，问题消失了，我能够从（编辑的）回复中重现值。以下是修正后的公式，参数颠倒：

=DEGREES(ATAN2(G2*I2+H2*J2; G2*J2-H2*I2))
               ^^== X ==^^  ^^== Y ==^^

同样，这个公式的改变是必要的，因为这个电子表格对ATAN2的实现与大多数编程语言的实现是相反的。最初给出的答案（首先列出Y）对于大多数编程语言都是正确的。

嗯，我似乎仍然有点问题

如果这些点在几乎一条直线上彼此相距很远，我将提出“大角度”。例如：

P1:（0.60644,0.30087）。。 P2:（0.46093,0.30378）。。 P3:（0.19335,0.30087）

X坐标增加，但Y坐标几乎保持不变

x12=-0.145507。。y12=-0.00290698

x23=-0.267578125。。y23=0.002906976

（我颠倒了Y差，因为坐标在象限IV中，Y向下增加。）

x=-0.000354855。。y=-0.00120083

ans=-106.462（度）

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由于这些点几乎是共线的，我希望答案很小。如您所见，温度超过106度。

（作者注）：这是一个地图应用程序情况。前两点确定了行驶方向；第三个是旅行者现在转向的地方。众所周知，这三点都是“明智的”。编程语言之间的差异没有问题。：-）现在，在我看来，你在计算两个“叉积”的ATAN2。我正在努力将数学形象化（因为我知道什么是ATAN2，等等）。你（或某人）能详细说明一下吗？为什么即使一个向量是“350º”，另一个是“10º”，这也会给我正确的答案？使用叉积计算ATAN2的两个输入的理由是什么？（我并不怀疑你，但“小灯泡”还没有完全打开。）：-X第二项是标量积。请看添加的内容。谢谢。现在，请你澄清一下你在编辑后的回复中使用的各种标点符号，“为了花生画廊的利益”，也为了我。小写--“x”我猜是叉积，竖条不能（我猜）表示“绝对值”。。。然后，当我查看你的“Sin（）”和“Cos（）”方程，并尝试将它们与“DirChange=”的表达式进行比较时，我甚至没有看到使用过一次除法“/”运算符。另外：我知道也许是时候参考一个外部网页（由你选择）来温和地解释这些魔法了。。。M-A-N-Y谢谢！在Javascript中，我还得到了-11.31度（右转）。从（1,3）到（3,2）到（6,1）的点与A的量完全相同

var
  P1, P2, P3: TPoint;
  x12, y12, x23, y23: Integer;
  DirChange: Double;
begin
  P1 := Point(0, 0);
  P2 := Point(1, 0);
  P3 := Point(2, 1);
  x12 := P2.X - P1.X;
  y12 := P2.Y - P1.Y;
  x23 := P3.X - P2.X;
  y23 := P3.Y - P2.Y;
  DirChange := Math.ArcTan2(x12 * y23 - x23 * y12, x12 * x23 + y12* y23);
  Memo1.Lines.Add(Format('%f radians   %f degrees',
    [DirChange, RadToDeg(DirChange)]));

=DEGREES(ATAN2(G2*J2-H2*I2; G2*I2+H2*J2))

=DEGREES(ATAN2(G2*I2+H2*J2; G2*J2-H2*I2))
               ^^== X ==^^  ^^== Y ==^^