Graph 打印无向加权图中2个节点之间的所有最小路径

我已经知道如何在无向加权图中找到两个节点之间距离最小的路径。但是，如果有多条路径具有相同的最小距离，该怎么办？如何找到并打印所有这些路径？

让我们同意，我们正在无向加权图G上寻找简单路径（无重复顶点）

两个顶点u和v之间的最小距离路径的数量最多可达（n-2）！（具有零权边的完整图，每个从u开始到v结束的置换都是有效的最小距离路径）

然而，如果您创建了一个新的图G'，该图的顶点与G相同，并且其边属于G中u和v之间的某个最小距离路径，则可以计算出这些路径的数量，或者进行回溯以找到它们中的每一条

构建G'的简单方法是：

计算从u开始并保持距离数组（du）的单源最短路径

计算从v开始并保持距离数组（dv）的单源最短路径

使用G和零边的所有节点创建G'

对于G中的每条边（的权重为w），如果du[x]+w+dv[y]==du[v]或du[y]+w+dv[x]==du[v]，则属于G’

如果在第4步强制边缘方向，并且没有零权重循环，则G'是DAG（有向无环图）。您可以使用DAG属性来计算G'中u和v之间的最小距离路径量，并作为sidequest证明，该答案等于原始问题的答案。同样，如果每次从u回溯到v，那么就得到了G中u和v之间的最小距离路径

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您可以使用dijkstra算法或Bellman Ford算法根据您的权重约束计算单源最短路径。

这将是什么时间复杂度？要构建G'（并使用dijkstra算法），运行时是O（ElogV+（E+V）），因为您对dijkstra O（ElogV）执行了两次调用，创建G'O（V）并迭代go（E）中的所有边。通常| V |小于或等于| E |，因此总运行时间是O（ElogV）。要计算DAG中u和V之间的最小距离路径量，使用的运行时间是O（V+E）（使用拓扑排序和动态规划来找到答案）回溯是O（n！），如前所述。