Graph 唯一最小生成树的充要条件

给出一个图G，它有唯一最小生成树的充要条件是什么？另外，我如何证明这些条件

到目前为止，我发现这些条件是：

1） 对于V（G）的每一个划分为两个子集，每个子集中有一个端点的最小权边是唯一的

2） G的任何循环中的最大重量边都是唯一的

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但我不确定这是否正确。即使这是正确的，我也无法证明它的正确性。

这是错误的，因为至少第一个条件是不必要的。证明是反例（）

取G为所有边权重均为1的任意树。那么G有一个 唯一的MST（本身），但任何具有多条边的分区 交叉有几个最小权重边

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编辑：

在回答你修改后的问题时

MST的唯一性有一个众所周知的充分（但不是必要）条件：

如果连通图中每条边的权重不同，则该图正好包含一个（唯一的）最小生成树

证明如下（）：

为了自相矛盾，假设有两个不同的MST G、 说T1和T2。设e=v-w为G的最小重量边，即 T1或T2中的一个，但不是两者都有。假设e在T1中。添加e到 T2产生一个循环C。在C中至少有一条边，比如f，是 不在T1中（否则T1将是循环的）。我们选择e，w（e）≤ w（f）。因为所有的边权重都是不同的，所以w（e）

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然而，关于MST唯一性的“充分和必要”条件，我不认为存在任何已知的条件。

这是错误的，因为至少第一个条件是不必要的。证明是反例（）

取G为所有边权重均为1的任意树。那么G有一个 唯一的MST（本身），但任何具有多条边的分区 交叉有几个最小权重边

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编辑：

在回答你修改后的问题时

MST的唯一性有一个众所周知的充分（但不是必要）条件：

如果连通图中每条边的权重不同，则该图正好包含一个（唯一的）最小生成树

证明如下（）：

为了自相矛盾，假设有两个不同的MST G、 说T1和T2。设e=v-w为G的最小重量边，即 T1或T2中的一个，但不是两者都有。假设e在T1中。添加e到 T2产生一个循环C。在C中至少有一条边，比如f，是 不在T1中（否则T1将是循环的）。我们选择e，w（e）≤ w（f）。因为所有的边权重都是不同的，所以w（e）

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然而，关于MST唯一性的“充分和必要”条件，我不认为存在任何已知的条件。

实际上，存在唯一MST的必要和充分条件。在本书中，这是一个练习：

练习4.30

设G是连通加权图，T是G的最小生成树。证明T是G的唯一最小生成树当且仅当不在T中的G的每条边e的权重超过T+e中的圈上每条其他边的权重

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我写我的证明。

事实上，存在唯一MST的一个充要条件。在本书中，这是一个练习：

练习4.30

设G是连通加权图，T是G的最小生成树。证明T是G的唯一最小生成树当且仅当不在T中的G的每条边e的权重超过T+e中的圈上每条其他边的权重

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我写下我的证明。

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