Graph 证明子图是生成树

设T和T'是连通图G的两棵生成树 弧x在T中，但不在T'中。证明T'中有一个弧y' 使得（T-{x}）∪{y} 和（T'-{y}）∪{x} 是G中的生成树

你知道我如何证明这一点吗？有没有正式的方法证明子图是生成树

是的，是的

通过证明以下内容，证明子图是生成树：

子图接触图中的所有节点；及

子图是一棵树。

• 任意两个节点之间只有一条路径

由于

T

和

T'

都是生成树，因此您知道

T

或

T'

中的任意两个节点之间正好有一条路径，

T

和

T'

都会触及

G

中的每个节点

如果从

T

中删除

arc x

，则会得到两棵树。让我们称它们为

T0

和

T1

。由于

T'

接触每个节点，因此

T'

中必须存在

弧y

，这样一个端点位于

T0

中，另一个端点位于

T1

中

弧x

和

弧y

都是连接

T0

到

T1

的弧。由于连接两棵树会生成一棵树，

T0

和

T1

覆盖

G

中的所有节点，

（T-{x}）∪{y} 

和

（T'-{y}）∪{x} 

是生成树

正如你可能已经注意到的那样，我没有对实际证据进行太多的详细说明，只是给出了一个概述。您需要证明：

从

T

中删除

弧x

会生成两棵树，

T0

和

T1

，它们不共享节点和弧

在

T'

中必须存在连接

T0

到

T1

的

弧y

从

T'

中删除

弧y

将生成两棵树，它们覆盖与

T0

和

T1

相同的节点；及

用圆弧连接两棵树会生成一棵树

再加上一些其他的小东西，把它们粘在一起，形成一个连贯的答案，但这四个东西是需要展示的核心项目。一旦你证明了这些东西，其他的东西都很容易推断出来

祝你好运，我认为这是一份家庭作业