Haskell/Idris中的开放式水平证明

在Idris/Haskell中，可以通过注释类型和使用GADT构造函数（例如使用Vect）来证明数据的属性，但是，这需要将属性硬编码到类型中（例如，Vect必须是列表中的单独类型）。

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有没有可能使类型具有一组开放的属性（例如同时包含长度和运行平均数的列表），例如通过重载构造函数或使用某种效果？

我相信McBride在他的文章中回答了这个问题（对于类型理论）。您正在寻找的概念是代数装饰（强调我的）：

代数φ描述了解释数据的结构化方法，给出了 递归地应用该方法，进行折叠运算。 毫不奇怪，生成的φ调用树具有相同的 结构作为原始数据-这毕竟是重点。但是 如果这是重点呢？假设我们想修好这个房间 预先折叠φ的结果，仅表示将 提供我们想要的答案。我们应该需要数据来符合 提供答案的电话树我们可以限制我们的数据吗 到底是什么意思？当然可以，如果我们根据答案编制索引。

现在，让我们编写一些代码。我把整件事都放在这里，因为我要在这里插入评论。此外，我正在使用Agda，但它应该很容易传输到Idris

module reornament where

我们首先定义什么是作用于

a

s列表的

B

s代数。我们需要一个基本情况（类型为

B

）以及将列表的开头与归纳假设相结合的方法

ListAlg : (A B : Set) → Set
ListAlg A B = B × (A → B → B)

根据此定义，我们可以定义一类由

B

s索引的

a

s列表，其值正好是与给定

ListAlg a B

对应的计算结果。在

nil

情况下，结果是代数（

proj）提供给我们的基本情况₁ alg

）在

cons

情况下，我们只需使用第二个投影将归纳假设与新头部相结合：

data ListSpec (A : Set) {B : Set} (alg : ListAlg A B) : (b : B) → Set where
  nil  :  ListSpec A alg (proj₁ alg)
  cons : (a : A) {b : B} (as : ListSpec A alg b) → ListSpec A alg (proj₂ alg a b)

好的，现在让我们导入一些库并查看几个示例：

open import Data.Product
open import Data.Nat
open import Data.List

计算列表长度的代数由

0

作为基本情况给出，而

const suc

作为组合

a

和尾部长度以构建当前列表长度的方法给出。因此：

AlgLength : {A : Set} → ListAlg A ℕ
AlgLength = 0 , (λ _ → suc)

如果元素是自然数，那么它们可以求和。与之对应的代数将

0

作为基本情况，并将

\uu+

作为组合

ℕ以及尾部包含的元素的总和。因此：

AlgSum : ListAlg ℕ ℕ
AlgSum = 0 , _+_

疯狂的想法：如果我们有两个代数在同一个元素上工作，我们可以组合它们！这样我们将跟踪2个不变量，而不是一个

Alg× : {A B C : Set} (algB : ListAlg A B) (algC : ListAlg A C) →
       ListAlg A (B × C)
Alg× (b , sucB) (c , sucC) = (b , c) , (λ a → λ { (b , c) → sucB a b , sucC a c })

下面是一个例子：

如果我们跟踪长度，那么我们可以定义向量：

Vec : (A : Set) (n : ℕ) → Set
Vec A n = ListSpec A AlgLength n

并且具有，例如，长度为4的向量：

allFin4 : Vec ℕ 4
allFin4 = cons 0 (cons 1 (cons 2 (cons 3 nil)))

如果我们跟踪元素的总和，那么我们可以定义分布的概念：统计分布是一个概率列表，其总和为100：

Distribution : Set
Distribution = ListSpec ℕ AlgSum 100

我们可以定义一个统一的，例如：

uniform : Distribution
uniform = cons 25 (cons 25 (cons 25 (cons 25 nil)))

最后，通过结合长度和和代数，我们可以实现大小分布的概念

SizedDistribution : ℕ → Set
SizedDistribution n = ListSpec ℕ (Alg× AlgLength AlgSum) (n , 100)

对于4个元素集，给出一个很好的均匀分布：

uniform4 : SizedDistribution 4
uniform4 = cons 25 (cons 25 (cons 25 (cons 25 nil)))

这太棒了。我写了一篇伊德里斯的译文：@BrianMcKenna真是太棒了。是否有可能将异质列表表示为这样的装饰？还是增加名单？@SamuraiJack当然。您需要找到一种要存储在列表中的对象类型，以及相应的
fold
从元素列表中计算不变量。我得到的是：@gallais看起来很酷，谢谢！布莱恩·麦肯纳：伊德里斯翻译的可能性有吗？：）