函数证明（Haskell）

我读RWH不及格；为了不退出，我订购了Haskell：函数式编程技术。现在我对146页上的这些函数证明很好奇。具体来说，我试图证明8.5.1

sum（反向xs）=sumxs

。我可以做一些归纳证明，但后来我被卡住了

宣传短片： 基数： 归纳： 所以现在我只是想证明

Left

sum（reverse xs++[x]）

等于

Right

x+sum xs

，但这离我开始的

sum（reverse（x:xs））=sum（x:xs）

并不远

---

我不太清楚为什么需要证明这一点，使用

反向x:y:z=z:y:x

（defn）的符号证明似乎是完全合理的，因为+是可交换的（arth），那么

反向1+2+3=3+2+1

，

使用和的定义将（和反向xs++[x]）分解为x+和（反向（xs的），用你的归纳假设，你知道sum（逆（xs））=sum（xs）。但我同意，对于这样的问题，归纳法是一种过分的方法。

基本上你需要证明这一点

sum (reverse xs ++ [x]) = sum (reverse xs) + sum [x]

这很容易导致

                        = x + sum (reverse xs)
                        = x + sum xs  -- by inductive hyp.

问题在于显示

sum

分布在列表串联上

sum (reverse [])     = sum []                     -- def reverse
sum (reverse (x:xs)) = sum (reverse xs ++ [x])    -- def reverse
                     = sum (reverse xs) + sum [x] -- sum lemma below
                     = sum (reverse xs) + x       -- def sum
                     = x + sum (reverse xs)       -- commutativity assumption!
                     = x + sum xs                 -- inductive hypothesis
                     = sum (x:xs)                 -- definition of sum

然而，有一些关于结合性和交换性的基本假设并没有得到严格的保证，这对于一些数值类型（如

Float

和

Double

）来说是不正确的，因为这些假设被违反了

引理：

sum（xs++ys）=sumxs+sumys

给定

（+）

证明：

sum ([] ++ ys)     = sum ys           -- def (++)
                   = 0 + sum ys       -- identity of addition
                   = sum [] ++ sum ys -- def sum

sum ((x:xs) ++ ys) = sum (x : (xs ++ ys))  -- def (++)
                   = x + sum (xs ++ ys)    -- def sum 
                   = x + (sum xs + sum ys) -- inductive hypothesis
                   = (x + sum xs) + sum ys -- associativity assumption!
                   = sum (x:xs) + sum ys   -- def sum

---

我想你被困在这里了。你需要证明一个引理

sum (xs ++ ys) == sum xs + sum ys

为了证明这个定律，你必须假设加法是结合的，这只适用于整数和有理数

然后，您还需要假设加法是可交换的，这对于整数和有理数也是如此，对于浮点也是如此

---

---

题外话：我觉得你证据的风格很奇怪。我想，如果你在中使用这种风格，你将更容易写出这种证明。

我很困惑。。。对不起，我只是觉得你是菲亚特赢了。我不明白你是怎么得到这些的…你是怎么证明你想展示的

sum（反向xs++[x]）=sum（反向xs）+sum[x]

我没有证明，但这是可能的。尝试在xs上使用归纳法，向所有Y显示

sum（xs++ys）=（sum xs）+（sum ys）

。有一首歌类似于“加法是可交换的，对吧！”这首歌适用于这种情况。@jrockway，谢谢你的否决票，请带着反对票和旁敲侧击的评论来看看。“使用x:y:z=z:y:x（defn）的符号证明似乎是完全合理的，因为+是可交换的（arth），所以反向1+2+3=3+2+1。“好吧，这给了你一个长度为3的列表的证明，但不给任何其他长度的列表的证明。@jrockway:New Math，作者汤姆·莱勒。“你知道为什么四加一加十等于十四减一吗？”原因加法是可交换的，对吧。”是的。我认为即使对这群人来说，这个参考也太模糊了：）加法对于所有复数（整数、有理数、无理数等）都是关联的。交换属性也是如此。但是，正如@Edward Kmett的帖子中提到的，属于Haskell中

Num

类的浮点数并非如此。

sum (reverse [])     = sum []                     -- def reverse
sum (reverse (x:xs)) = sum (reverse xs ++ [x])    -- def reverse
                     = sum (reverse xs) + sum [x] -- sum lemma below
                     = sum (reverse xs) + x       -- def sum
                     = x + sum (reverse xs)       -- commutativity assumption!
                     = x + sum xs                 -- inductive hypothesis
                     = sum (x:xs)                 -- definition of sum

sum ([] ++ ys)     = sum ys           -- def (++)
                   = 0 + sum ys       -- identity of addition
                   = sum [] ++ sum ys -- def sum

sum ((x:xs) ++ ys) = sum (x : (xs ++ ys))  -- def (++)
                   = x + sum (xs ++ ys)    -- def sum 
                   = x + (sum xs + sum ys) -- inductive hypothesis
                   = (x + sum xs) + sum ys -- associativity assumption!
                   = sum (x:xs) + sum ys   -- def sum

sum (xs ++ ys) == sum xs + sum ys