Haskell 如何将函数语言上的数字塔形式化？

每个人都知道在依赖类型的函数语言上表达自然数的优雅方式：

data Nat = Zero | Succ Nat

整数、分数、实数、复数和四元数对于实际编程应用也非常重要。可以通过以下方式实施：

data Integer    = Integer (sign : Bool) (modulus : Nat)
data Fraction   = Fraction (dividend : Nat) (divisor : Nat)
data Real       = Real (exponent : Integer) (fraction : Nat)
data Complex    = Complex Real Real
data Quaternion = Quaternion Real Real Real Real

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但没有一个能像NAT那样真实地反映其类型的实际结构/性质。例如，整数与实际整数不同构（因为零出现两次）。Reals需要超过一百万个单元来存储（3.141592），但甚至不需要100个单元来存储（4096），这看起来是不平衡的。复数只是实数的一个元组，它并不真正反映复数是什么。我想知道用函数式编程语言表达数字之塔的自然、优雅的方式是什么？

我意识到这是一个老问题，我的答案是用Scala而不是Haskell/Idris，但看看他们是如何用Scala实现的可能会很有趣。这里的方法是首先建立代数结构的层次结构（即，

半群

/

群

/

环

/

字段

/等），然后在其上实例化数值类型，添加数值方法中的各种算法。我相信你可以从中找到一些有用的想法。

你为什么不认为这“准确地反映了什么是

复合体”

？（也就是说，你的

Real

只包含有限长的十进制值，这是有理数的一个严格子集。）我的意思是，我想你可以将其表示为实数多项式mod x^2+1，但我不清楚你的反对意见是什么。此外，结构，例如，即使是真正同构的，也会影响性能和易用性。我可以将自然数编码为

data-Nat=Add-Nat-Nat | FloorHalf-Nat | Two | Zero

，但在上面实现代数算法会非常混乱。很明显，这并不能很好地代表Nats。我认为我的任意编码也是如此……我想你会发现性能和数学优雅是相互冲突的目标。你可以先用二进制表示自然，例如用

[Bool]

，但你的目的并不明确。你可能想读一点关于同伦类型理论的知识。沉重的东西，但它深入到了非唯一表示的整个问题中。下面是一个关于如何在Haskell中实现这些实数表示的视频：